Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5092. feladat (2019. január)

P. 5092. Vízszintes helyzetű, jól hőszigetelt, rögzített hengert egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű, könnyen mozgó, rossz hővezető anyagból készült dugattyú két egyenlő, \(\displaystyle V_0\) térfogatú részre oszt. Az egyes részekben azonos mennyiségű, \(\displaystyle p_0\) nyomású héliumgáz van.

A dugattyút kissé kitérítjük egyensúlyi helyzetéből, majd magára hagyjuk. Mekkora lesz a rezgésidő?

Közli: Németh László, Fonyód

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a dugattyút egy kicsiny \(\displaystyle x\) távolsággal elmozdítjuk – mondjuk – jobb felé, akkor a jobb oldali féltérben lévő gáz térfogata \(\displaystyle \Delta V=-xA\) értékkel megváltozik (lecsökken), a nyomása pedig

\(\displaystyle p_\text{jobb}=p_0+\Delta p\)

értékre növekszik. A héliumgáz belső energiája \(\displaystyle E=\frac32 pV\), a belső energia változása tehát

\(\displaystyle \Delta E=\frac32(p_0+\Delta p)(V_0-xA)-\frac32p_0V_0\approx \frac32p_0\Delta V+\frac32V_0\Delta p.\)

(A \(\displaystyle \Delta p\cdot \Delta V\)-vel arányos, ún. másodrendűen kicsiny tagot elhanyagoltuk.) A folyamat során a gáz

\(\displaystyle W'=p_0\Delta V=p_0Ax\)

tágulási munkát végez, miközben – a jó hószigetelés miatt – nem vesz fel hőt: \(\displaystyle Q=0\). A hőtan I. főtétele szerint

\(\displaystyle \Delta E+W'=Q=0,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{\Delta p}{p_0}+\frac{5}{3}\frac{\Delta V}{V_0}=0.\)

Megjegyzés. A fenti összefüggést úgy is megkaphatjuk, hogy a \(\displaystyle pV^{5/3}=\text{állandó}\) adiabatikus állapotegyenlet bal oldalának képezzük a kicsiny megváltozását, és azt nullával tesszük egyenlővé.

Látható, hogy a nyomás növekedése – közelítőleg – a dugattyú \(\displaystyle x\) elmozdulásával arányos, így a bal oldali térrészben a gáz nyomása ugyanilyen mértékben lecsökken,

\(\displaystyle p_\text{bal}=p_0-\Delta p\)

nagyságú lesz. A dugattyúra ható eredő erő a dugattyú \(\displaystyle x\) elmozdulása esetén:

\(\displaystyle F=\left(p_\text{bal}-p_\text{jobb}\right)A=-\frac{10}{3}\frac{A^2p_0}{V_0}\cdot x\equiv -Dx.\)

Ez az erőtörvény éppen olyan alakú, mint amilyen egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugó esetében lenne. Ennek megfelelően az \(\displaystyle m\) tömegű dugattyú mozgása kis elmozdulások esetén harmonikus rezgőmozgás lesz, melynek rezgésideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{3\,mV_0}{10\,p_0A^2}}.\)


Statisztika:

A P. 5092. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári fizika feladatai