Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5092. (January 2019)

P. 5092. An easily moveable piston of mass \(\displaystyle m\) and cross sectional area \(\displaystyle A\) is made of a material which poorly conducts heat. The piston divides a horizontal, fixed, and thermally insulated cylinder into two parts, having the same volume of \(\displaystyle V_{0}\). There is the same amount of helium gas in the two parts, at the pressure of \(\displaystyle p_{0}\).

The piston is displaced a bit, and then released. What is the period of the resulting oscillation?

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a dugattyút egy kicsiny \(\displaystyle x\) távolsággal elmozdítjuk – mondjuk – jobb felé, akkor a jobb oldali féltérben lévő gáz térfogata \(\displaystyle \Delta V=-xA\) értékkel megváltozik (lecsökken), a nyomása pedig

\(\displaystyle p_\text{jobb}=p_0+\Delta p\)

értékre növekszik. A héliumgáz belső energiája \(\displaystyle E=\frac32 pV\), a belső energia változása tehát

\(\displaystyle \Delta E=\frac32(p_0+\Delta p)(V_0-xA)-\frac32p_0V_0\approx \frac32p_0\Delta V+\frac32V_0\Delta p.\)

(A \(\displaystyle \Delta p\cdot \Delta V\)-vel arányos, ún. másodrendűen kicsiny tagot elhanyagoltuk.) A folyamat során a gáz

\(\displaystyle W'=p_0\Delta V=p_0Ax\)

tágulási munkát végez, miközben – a jó hószigetelés miatt – nem vesz fel hőt: \(\displaystyle Q=0\). A hőtan I. főtétele szerint

\(\displaystyle \Delta E+W'=Q=0,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{\Delta p}{p_0}+\frac{5}{3}\frac{\Delta V}{V_0}=0.\)

Megjegyzés. A fenti összefüggést úgy is megkaphatjuk, hogy a \(\displaystyle pV^{5/3}=\text{állandó}\) adiabatikus állapotegyenlet bal oldalának képezzük a kicsiny megváltozását, és azt nullával tesszük egyenlővé.

Látható, hogy a nyomás növekedése – közelítőleg – a dugattyú \(\displaystyle x\) elmozdulásával arányos, így a bal oldali térrészben a gáz nyomása ugyanilyen mértékben lecsökken,

\(\displaystyle p_\text{bal}=p_0-\Delta p\)

nagyságú lesz. A dugattyúra ható eredő erő a dugattyú \(\displaystyle x\) elmozdulása esetén:

\(\displaystyle F=\left(p_\text{bal}-p_\text{jobb}\right)A=-\frac{10}{3}\frac{A^2p_0}{V_0}\cdot x\equiv -Dx.\)

Ez az erőtörvény éppen olyan alakú, mint amilyen egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugó esetében lenne. Ennek megfelelően az \(\displaystyle m\) tömegű dugattyú mozgása kis elmozdulások esetén harmonikus rezgőmozgás lesz, melynek rezgésideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{3\,mV_0}{10\,p_0A^2}}.\)


Statistics:

37 students sent a solution.
5 points:Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Csépányi István, Elek Péter, Fiam Regina, Hartmann Alice, Klučka Vivien, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Szabó 314 László, Tiefenbeck Flórián, Vass Bence, Vaszary Tamás, Viczián Anna.
4 points:Hisham Mohammed Almalki, Pálfi Fanni.
3 points:7 students.
2 points:5 students.
1 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2019