Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5093. feladat (2019. január)

P. 5093. Egy űrállomáson a súlytalanság állapotában végzett kísérlet kérdése speciális ,,kozmikus sebességgel'' kapcsolatos: Egy \(\displaystyle R=10\) cm sugarú, \(\displaystyle Q=-10^{-7}\) C töltésű, homogén töltéseloszlású szigetelőgömb felületétől \(\displaystyle d=2~\)cm-re mekkora az első és a második kozmikus sebesség egy \(\displaystyle m=0{,}1~\)g tömegű, \(\displaystyle q=2\cdot10^{-9}\) C töltésű, pontszerű testre vonatkozóan?

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az első ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_1)\) a gömbtől adott távolságban körpályán mozgó test sebessége. A mozgásegyenlet szerint

\(\displaystyle k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)^2}=m\frac{v_1^2}{R+d},\)

ahonnan

\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{kqQ\vert Q \vert}{m(R+d)}}=0{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

A második ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_2)\) az adott helyhez tartozó szökési sebesség, vagyis amelyhez tartozó mozgási energia a Coulomb-féle kötési energia nagyságával egyenlő:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_2^2=k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)},\)

innen

\(\displaystyle v_2=\sqrt{2\frac{kq\vert Q \vert}{m(R+d)}}=\sqrt{2}\,v_1=0{,}55~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

Megjegyzés. A gravitációs kölcsönhatáshoz tartozó analóg képletek:

\(\displaystyle \gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)^2}=m_\text{tehetetlen}\,\frac{v_1^2}{R+d},\)

illetve

\(\displaystyle \frac12 m_\text{tehetetlen} \,v_2^2 =\gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)}.\)

Mivel \(\displaystyle m_\text{gravitációs}=m_\text{tehetetlen},\) a képletek egyszerűbbé válnak, azokból a pontszerű test tömege (,,gravitációs töltése'') kiesik:

\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R+d}} \qquad \text{és}\qquad v_2=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R+d}}.\)


Statisztika:

A P. 5093. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári fizika feladatai