Problem P. 5093. (January 2019)
P. 5093. In this problem, the experiment carried out on a space station in weightlessness is about a special "orbital speed" and "escape velocity". A charged sphere, made of some insulating material, has a radius \(\displaystyle R =10\) cm, and charge \(\displaystyle Q = -10^{-7}\) C (uniformly distributed). We would like to know the orbital speed of an object of mass \(\displaystyle m = 0.1\) g, and of charge \(\displaystyle q=2\cdot10^{-9}\) C when it is on a circular orbit 2 cm from the surface of the sphere; and we would also like to find the escape velocity of the same object, when it is launched from a point 2 cm from the surface of the sphere.
(4 pont)
Deadline expired on February 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az első ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_1)\) a gömbtől adott távolságban körpályán mozgó test sebessége. A mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)^2}=m\frac{v_1^2}{R+d},\)
ahonnan
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{kqQ\vert Q \vert}{m(R+d)}}=0{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
A második ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_2)\) az adott helyhez tartozó szökési sebesség, vagyis amelyhez tartozó mozgási energia a Coulomb-féle kötési energia nagyságával egyenlő:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_2^2=k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)},\)
innen
\(\displaystyle v_2=\sqrt{2\frac{kq\vert Q \vert}{m(R+d)}}=\sqrt{2}\,v_1=0{,}55~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Megjegyzés. A gravitációs kölcsönhatáshoz tartozó analóg képletek:
\(\displaystyle \gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)^2}=m_\text{tehetetlen}\,\frac{v_1^2}{R+d},\)
illetve
\(\displaystyle \frac12 m_\text{tehetetlen} \,v_2^2 =\gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)}.\)
Mivel \(\displaystyle m_\text{gravitációs}=m_\text{tehetetlen},\) a képletek egyszerűbbé válnak, azokból a pontszerű test tömege (,,gravitációs töltése'') kiesik:
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R+d}} \qquad \text{és}\qquad v_2=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R+d}}.\)
Statistics:
67 students sent a solution. 4 points: 54 students. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2019