Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem P. 5093. (January 2019)

P. 5093. In this problem, the experiment carried out on a space station in weightlessness is about a special "orbital speed" and "escape velocity". A charged sphere, made of some insulating material, has a radius $\displaystyle R =10$ cm, and charge $\displaystyle Q = -10^{-7}$ C (uniformly distributed). We would like to know the orbital speed of an object of mass $\displaystyle m = 0.1$ g, and of charge $\displaystyle q=2\cdot10^{-9}$ C when it is on a circular orbit 2 cm from the surface of the sphere; and we would also like to find the escape velocity of the same object, when it is launched from a point 2 cm from the surface of the sphere.

(4 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első ,,kozmikus sebesség'' $\displaystyle (v_1)$ a gömbtől adott távolságban körpályán mozgó test sebessége. A mozgásegyenlet szerint

$\displaystyle k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)^2}=m\frac{v_1^2}{R+d},$

ahonnan

$\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{kqQ\vert Q \vert}{m(R+d)}}=0{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}.$

A második ,,kozmikus sebesség'' $\displaystyle (v_2)$ az adott helyhez tartozó szökési sebesség, vagyis amelyhez tartozó mozgási energia a Coulomb-féle kötési energia nagyságával egyenlő:

$\displaystyle \frac{1}{2}mv_2^2=k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)},$

innen

$\displaystyle v_2=\sqrt{2\frac{kq\vert Q \vert}{m(R+d)}}=\sqrt{2}\,v_1=0{,}55~\frac{\rm m}{\rm s}.$

Megjegyzés. A gravitációs kölcsönhatáshoz tartozó analóg képletek:

$\displaystyle \gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)^2}=m_\text{tehetetlen}\,\frac{v_1^2}{R+d},$

illetve

$\displaystyle \frac12 m_\text{tehetetlen} \,v_2^2 =\gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)}.$

Mivel $\displaystyle m_\text{gravitációs}=m_\text{tehetetlen},$ a képletek egyszerűbbé válnak, azokból a pontszerű test tömege (,,gravitációs töltése'') kiesik:

$\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R+d}} \qquad \text{és}\qquad v_2=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R+d}}.$

### Statistics:

 67 students sent a solution. 4 points: 54 students. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2019