Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5094. feladat (2019. január)

P. 5094. Három, \(\displaystyle L=20~\)cm hosszúságú szigetelőfonál egyik végéhez \(\displaystyle m=1~\)g tömegű, pontszerűnek tekinthető testeket erősítettek, amelyek töltése (egyenként) \(\displaystyle Q=3{,}1\cdot 10^{-7}\) C. A fonalak másik végét közös pontban rögzítették. Kezdetben a feszes fonalak a függőlegessel \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os szöget zárnak be, és a kis testek egy szabályos háromszöget alkotnak. Ezt követően egyszerre elengedjük a testeket.

\(\displaystyle a)\) Mekkora szöget zárnak be a fonalak a függőlegessel, amikor a testek sebessége maximális?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a testek legnagyobb sebessége?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


I. megoldás. \(\displaystyle a)\) Amikor a testek sebessége maximális, akkor a sebességük nagysága nem változik, tehát a rájuk ható eredő erőnek nincsen a sebességükkel párhuzamos komponense.

Az elrendezés szimmetriája miatt a három test mindig szabályos háromszöget alkot, melynek oldalai

\(\displaystyle \ell=\sqrt{3}L\sin\varphi \)

hosszúságúak, ahol \(\displaystyle \varphi\) a fonalaknak a függőlegessel bezárt szöge. (Kezdetben \(\displaystyle \varphi=\alpha\) és \(\displaystyle \ell=a\).)

Tekintsük az egyik testet, amely \(\displaystyle L\) sugarú körpályán mozog. A testre függőlegesen lefelé \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, vízszintes irányban (a másik két test által kifejtett) \(\displaystyle \sqrt{3}kQ^2/\ell^2\) nagyságú elektrosztatikus taszítóerő hat. Ezek eredője a legnagyobb sebességnek megfelelő helyzetben fonál irányú, vagyis

\(\displaystyle mg\sin\varphi=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L^2\sin^2\varphi}\cos\varphi\)

teljesül. Ezt az egyenletet

\(\displaystyle \sin^3\varphi=\lambda\,\cos\varphi\)

alakban is felírhatjuk, ahol

\(\displaystyle \lambda=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}mgL^2}=1{,}27.\)

A fenti egyenlet \(\displaystyle x=\tg\varphi\) helyettesítéssel harmadfokú egyenletté alakítható:

\(\displaystyle x^2-1{,}27x^2-1{,}27=0,\)

amelynek egyetlen valós gyöke \(\displaystyle x=1{,}704\), azaz

\(\displaystyle \varphi=59{,}6^\circ\approx 60^\circ.\)

\(\displaystyle b)\) A testek legnagyobb sebességét a rendszer összes (mozgási + gravitációs + elektrosztatikus) energiájának állandóságából határozhatjuk meg.

\(\displaystyle -3mgL\cos\alpha+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\alpha}=3\cdot\frac{1}{2}mv^2-3mgL\cos\varphi+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\varphi},\)

innen az ismert, illetve már kiszámított adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy

\(\displaystyle v=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

II. megoldás. Az energiamegmaradás tétele szerint (lásd az I. megoldást)

\(\displaystyle \frac{v^2}{6gL}=\left(\cos\varphi- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\lambda \left(2-\frac{1}{\sin\varphi}\right) \equiv f(\varphi).\)

\(\displaystyle a)\) A legnagyobb sebességű helyzetben az \(\displaystyle f(\varphi)\) deriváltja eltűnik:

\(\displaystyle -\sin\varphi+\lambda\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}=0,\)

melynek numerikus megoldása (lásd pl. www.wolframalpha.com): \(\displaystyle \varphi=\varphi_0=59{,}6^\circ.\)

\(\displaystyle b)\) A maximális sebesség: \(\displaystyle v=\sqrt{2gL\cdot f(\varphi_0)}=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)


Statisztika:

A P. 5094. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári fizika feladatai