Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5096. (January 2019)

P. 5096. A small, luminous, circular sheet of radius 2 mm is at a distance of 10 cm from the centre of a uniform, solid glass sphere of radius 4 cm. The plane of the circular sheet is perpendicular to the optical axis, i.e. to the line connecting the centres of the sphere and the circular sheet. Where is the image of the circular sheet formed by the glass sphere and what is the size of the image? (The refractive index of glass is 1.5, and only the rays which are nearly parallel to the optical axis play a role in the image formation.)

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Jelöljük az üveggömb sugarát \(\displaystyle R\)-rel, a törésmutatóját \(\displaystyle n\)-nel, a körlap sugarát \(\displaystyle r\)-rel, a körlap távolságát a gömb középpontjától pedig \(\displaystyle t\)-vel. A kép akkor lesz éles, ha csak az optikai tengelyhez közeli fénysugarakra korlátozódunk; ezt a gömbre eső többi fénysugár letakarásával, vagyis egy fényrekesz alkalmazásával lehet elérni (1. ábra). A fénysugár útját jellemző kicsiny szögekre érvényesnek tekintjük a \(\displaystyle \sin\alpha\approx \tg\alpha\approx \alpha\) és a \(\displaystyle \cos\alpha\approx 1\) közelítést.

Első lépésben a létrejövő kép helyét fogjuk meghatározni, ehhez elegendó, ha a tárgy középpontjából kiinduló (és az optikai tengelyhez közel haladó) fénysugarak útját követjük. Képalkotásról akkor beszélhetünk, ha a tárgy középpontjából \(\displaystyle \alpha\) szögben kiinduló fénysugár az optikai tengelyt olyan (a gömb középpontjától mért) \(\displaystyle k\) távolságban metszi, amely távolság nem függ \(\displaystyle \alpha\)-tól.


1. ábra

Az 1. ábra jelöléseit követve a következő geometriai összefüggéseket írhatjuk fel:

\(\displaystyle x= (t-R)\alpha=R\varphi,\)

\(\displaystyle y=(k-R)\beta=R\psi,\)

\(\displaystyle \gamma=\frac{y-x}{2R},\)

továbbá érvényes a törési törvény mindkét határfelületnél (a kis szögekre alkalmazható közelítéssel):

\(\displaystyle \alpha+\varphi=n(\varphi+\gamma), \qquad \psi+\beta=n(\psi-\gamma).\)

A fenti egyenletekből (\(\displaystyle t\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle n\) ismeretében valamekkora \(\displaystyle \alpha\ll 1\) szöget feltételezve) \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\), \(\displaystyle \varphi\), \(\displaystyle \psi\) és \(\displaystyle k\) kiszámítható:

\(\displaystyle x=(t-R)\, \alpha,\qquad \varphi=\frac{t-R}R\,\alpha, \qquad \gamma=\left( 1-\frac{(n-1)t}{nR}\right)\,\alpha,\)

\(\displaystyle y=\left(R-t+\frac{2}{n}t\right)\,\alpha,\qquad \beta=\left(\frac{2(n-1)t}{Rn}-1 \right)\,\alpha,\qquad \psi=\left(1-\frac{t}{R}+\frac{2t}{nR}\right)\,\alpha,\)

és végül

\(\displaystyle k=\frac{nRt}{2(n-1)t-nR}=15~\rm cm.\)

Az utolsó összefüggést a jól ismert

\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac1{f}\)

alakban is felírhatjuk, ahol \(\displaystyle f=\frac{nR}{ 2(n-1) }=6~\rm cm \). Látható, hogy \(\displaystyle k\) (az alkalmazott közelítések keretei között) nem függ az \(\displaystyle \alpha\) szögtól, tehát a képalkotás feltétele valóban teljesül.

A fényes körlap képe tehát az üveggömb középpontjától \(\displaystyle k=15\) cm távolságban jön létre, a kép valódi, és a nagyítás \(\displaystyle N=k/t=1{,}5\)-szeres, tehát a körlap alakú kép sugara 3 mm lesz. Ez utóbbi arányt jól mutatják a körlap széléről kiinduló és a gömb középpontján törésmentesen áthaladó fénysugár által kijelölt hasonló háromszögek: \(\displaystyle r^*/r=k/t=N\) (2. ábra).


2. ábra

II. megoldás. A feladatot a Fermat-elv segítségével is megoldhatjuk. Ezen ,,minimumelv'' szerint (lásd pl. Solt György: Variációs elvek a klasszikus és a kvantumfizikában című cikket a KöMaL 2018. évi decemberi számában) a fény két rögzített pont (a \(\displaystyle T\) tárgypont és a \(\displaystyle K\) képpont) között olyan útvonalon halad, amelyre a fényterjedés ideje a lehető legkisebb, vagyis minimális. (Pontosabban fogalmazva: A fény terjedésének ideje a valódi pályán és az ahhoz igen közeli többi pályán ,,első közelítésben'' ugyanakkora.) Ha a fény több (,,végtelen sok'') útvonalon haladva is eljuthat \(\displaystyle T\)-ből \(\displaystyle K\)-ba (a képalkotásnak ez a feltétele), akkor a sok (ténylegesen megvalóduló) útvonal mindegyikén (jó közelítéssel) ugyanakkora a terjedés ideje, ezek az időtartamok egymással is megegyeznek.


3. ábra

Tekintsük a 3. ábrán látható fénysugarat, amely az üveggömb középpontjától \(\displaystyle t\) távol lévő \(\displaystyle T\) pontból kiindulva, három egyenes szakasz mentén haladva jut el a középponttól \(\displaystyle k\) távolságban lévő \(\displaystyle K\) pontba. (\(\displaystyle T\) és \(\displaystyle K\) rajta fekszik a gömb középpontján átmenő egyenesen, az optikai tengelyen.) Csak olyan fénysugarakat vizsgálunk, amelyek az optikai tengely közelében (és így egymáshoz is közel) haladnak, vagyis amelyekre az ábrán látható \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) távolságok a gömb \(\displaystyle R\) sugaránál sokkal kisebbek. (A számolás során \(\displaystyle x/R\) és \(\displaystyle y/R\) másodiknál magasabb hatványait elhanyagolhatóan kicsinek fogjuk tekinteni.)

Fejezzük ki a fény terjedésének idejét (pontosabban a vele arányos ,,optikai úthosszat'', vagyis a törésmutatóval súlyozott úthosszak összegét) a geometriai adatokkal és az üveg törésmutatójával! (Olyan fénysugarakat vizsgálunk, amelyeknél \(\displaystyle T,P,Q\) és \(\displaystyle K\) egy síkban fekszik.)

\(\displaystyle s(x,y)=TP+n\cdot PQ+QK=\)

\(\displaystyle =\sqrt{(t-R+\delta_x)^2+x^2}+n \sqrt{(2R-\delta_x-\delta_y)^2+(y-x)^2}+\sqrt{(k-R+\delta_y)^2+y^2},\)

ahol \(\displaystyle \delta_x\) és \(\displaystyle \delta_y\) a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontoknak az optikai tengelyre eső vetülete és a körvonal közötti (kicsiny) távolságokat jelöli. A Pitagorasz-tétel \(\displaystyle (R-\delta_x)^2+x^2=R^2\) és \(\displaystyle (R-\delta_y)^2+y^2=R^2\) alakját felhasználva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \delta_x\approx \frac{x^2}{2R} \qquad \text{és} \qquad \delta_y\approx \frac{y^2}{2R},\)

ahol a közelítés \(\displaystyle \delta_x^2\) és \(\displaystyle \delta_y^2\) elhanyagolása esetén érvényes. (Ezek a mennyiségek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) másodiknál magasabb hatványainak felelnek meg.)

A gyök alatti kifejezéseket, amelyek mindegyike \(\displaystyle \sqrt{a^2+\varepsilon^2}\) alakú (\(\displaystyle \varepsilon^2\) másodrendűen kicsi), az alábbi módon alakíthatjuk át:

\(\displaystyle \sqrt{a^2+\varepsilon^2}= \sqrt{\left(a+\frac{\varepsilon^2}{2a}\right)^2-\frac{\varepsilon^4}{4a^2}}\approx \sqrt{\left(a+\frac{\varepsilon^2}{2a}\right)^2} =a+\frac{\varepsilon^2}{2a}.\)

(Az \(\displaystyle \varepsilon^4\)-nel arányos kifejezés negyedrendűen kicsi, elhanyagolása jogos.) Ennek megfelelően az optikai úthossz:

\(\displaystyle s(x,y)\approx (t-R)+2nR+(k-r) +\frac{1}{2R}\left(\frac{t}{ t-R } x^2+ \frac{k}{ k-R } y^2-\frac{n}{2}(x+y)^2\right)\equiv \text{állandó}+\left[A x^2+B y^2+2C xy\right], \)

ahol

\(\displaystyle A=\frac{t}{t-R}-\frac{n}{2}; \qquad B=\frac{k}{k-R}-\frac{n}{2}; \qquad C =-\frac{n}{2}.\)

Az optikai úthossz akkor lesz végtelen sok különböző \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) mellett ugyanakkora, mint az optikai tengely mentén haladó sugár esetében (amikor \(\displaystyle x=y=0\)), ha a szögletes zárójelben álló kifejezés végtelen sok esetben nulla értéket vesz fel:

\(\displaystyle A x^2+B y^2+2C xy=A\left(x-\frac{C}{A}y\right)^2+\frac{AB -C^2}{A}y^2=0.\)

Ez akkor állhat fenn, ha \(\displaystyle x/y=-C/A\), ez végtelen sok esetben teljesülhet, továbbá

\(\displaystyle AB-C^2=\left(\frac{t}{t-R}-\frac{n}{2}\right)\left(\frac{k}{k-R}-\frac{n}{2}\right)-\frac{n^2}{4}=0.\)

Eszerint

\(\displaystyle \frac{tk}{(t-R)(k-R)}=\frac{n}{2}\left(\frac{k}{k-R}+\frac{t}{t-R}\right),\)

\(\displaystyle tk=\frac{n}{2}\left(kt-kR+tk-tR\right),\)

\(\displaystyle (n-1)tk=\frac{nR}{2}(t+k),\)

\(\displaystyle \frac{1}{t} +\frac{1}{k}=\frac{2(n-1)}{nR}=\frac{1}{f},\)

ahol \(\displaystyle f\) az I. megoldásban is szereplő ,,fókusztávolság''. (A feladatban megadott adatokkal \(\displaystyle k=15~\rm cm\). A kép méretét az I. megoldásban leírtak szerint lehet meghatározni.

III. megoldás. Az üveggömbnek az optikai tengelyhez közeli része egy \(\displaystyle d=2R\) vastagsággal és \(\displaystyle R_1=R_2=R\) görbületi sugarakkal jellenzett vastag lencsének tekinthető. Az ilyen lencse képalkotását az

\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}-\frac{n-1}{n}\, \frac{d}{R_1R_2}\right)\)

általánosított lencsetörvény írja le. (A vastag lencsékről lásd Vermes Miklós cikkét a KöMaL 1967. évi 11. számában.) Esetünkben a fősíkok a gömb középpontján haladnak át, így \(\displaystyle t=10~\)cm, továbbá

\(\displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{2}{R}-\frac{n-1}{n}\frac{2R}{R^2}\right)=\frac{n-1}{n}\,\frac{2}{R}=\frac{1{,}5-1}{1{,}5}\,\frac{2}{4~\rm cm}=\frac{1}{6~\rm cm},\)

Így tehát

\(\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{f}-\frac{1}{t}=\frac{1}{6~\rm cm}-\frac{1}{10~\rm cm}=\frac{1}{15~\rm cm},\qquad k=15~\rm cm.\)

Megjegyzés. Ha a gömb széléből két párhuzamos síkkal gondolatban levágunk két vékony szeletet, és ezeket \(\displaystyle f=8\) cm fókusztávolságú síkdomború, vékony lencseként kezeljük, de a közöttük lévő planparalel üveglemez szerepéről megfeledkezünk, hibás eredményt kapunk.

Ugyancsak hibás lesz az eredmény, ha az üveggömböt kétszeresen domború, vékony lencsének tekintjük.


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Andorfi István, Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Mácsai Dániel, Olosz Adél, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
3 points:4 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2019