Problem P. 5097. (January 2019)
P. 5097. There are three thin slits on an opaque sheet such that the distance between two adjacent slits is \(\displaystyle d\). The width of the slit at the middle is \(\displaystyle \sqrt 2\) times bigger than that of the slits on the sides. A laser beam of wavelength \(\displaystyle \lambda\) is incident on the slits, and perpendicular to the sheet. The diffraction pattern is observed on a screen at a distance of \(\displaystyle L\). What is the distance on the screen between the zero-order maximum and the first zero-intensity point? (Suppose that \(\displaystyle \lambda\ll d\ll L\).)
(5 pont)
Deadline expired on February 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyes résekre eső, majd ott elhajló hullámok amplitúdója a rés területével, vagyis a rés szélességével arányos. Az \(\displaystyle \alpha\) szögben szóródó hullámban a szomszédos résekből érkező hullámok fáziskülönbsége
\(\displaystyle \Delta \varphi=\frac{2\pi d}\lambda\sin\alpha,\)
tehát (a Huygens–Fresnel-elv szerint) a három résből összesen az
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle A\cos(\omega t-\Delta\varphi)+\sqrt{2}A\cos\omega t+ A\cos(\omega t+\Delta\varphi)\equiv A\cos\omega t\cdot \left[\sqrt{2}+2\cos\Delta\varphi\right]\) |
függvénnyel jellemezhető hullám halad tovább.
Az ernyőn nulla intenzitású helyeket ott találunk, ahol a nekik megfelelő irányban az (1) összefüggés szögletes zárójelében álló kifejezés nullává válik:
\(\displaystyle \sqrt{2}+2\cos\Delta\varphi=0,\)
vagyis (a legkisebb abszolút értékű \(\displaystyle \Delta\varphi\)-t keresve):
\(\displaystyle \Delta\varphi=\pm \frac{3}{4}\pi.\)
Ekkora fáziskülönbség a direkt nyalábtól (a nulladrendű elhajlási maximumtól) mérve olyan \(\displaystyle \alpha\) szögben alakul ki, amelyre
\(\displaystyle \frac{d\sin\alpha}{\lambda}=\frac{\Delta\varphi}{2\pi}=\pm \frac{3}{8},\)
vagyis amely az ernyőn a nulladrendű maximumtól
\(\displaystyle h=L\tg\alpha\approx L\sin\alpha=\frac{3}{8}\frac{\lambda L}{d}\)
távol található.
Statistics:
5 students sent a solution. 5 points: Csépányi István, Elek Péter, Fiam Regina, Hisham Mohammed Almalki. 4 points: Tran Quoc Dat.
Problems in Physics of KöMaL, January 2019