Problem P. 5098. (January 2019)
P. 5098. The broadening of spectral lines of stars have many different reasons, among them one is the rotation of the star. In the spectrum of a star the spectral line of hydrogen named H\(\displaystyle \delta \) (belonging to the Balmer series) has a wavelength of 410.174 nm measured under laboratory circumstances, and is observed to be broadened in the interval between 410.171 nm and 410.177 nm.
\(\displaystyle a)\) What is the period of the rotation of the star about its axis, if its diameter is \(\displaystyle 1.4\cdot 10^9\) m? Suppose that the axis of rotation is perpendicular to the direction from which the star is observed, and that the broadening is mainly due to the rotation of the star.
\(\displaystyle b)\) What could we deduce about the motion of the star, if the wavelength of the broadened spectral line was observed to be in the interval of 410.176 nm and 410.182 nm?
(5 pont)
Deadline expired on February 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A színképvonal két ,,széle'' \(\displaystyle \Delta\lambda=\pm 0{,}003\) nm-rel tér el a középértéktől, a földi laboratóriumokban az ,,álló'' hidrogénatomok által kibocsátott fény \(\displaystyle \lambda_0\) hullámhosszától. A relatív eltérés
\(\displaystyle \frac{\vert\Delta\lambda\vert}{\lambda_0} \ll 1,\)
ezért számolhatunk a nemrelativisztikus Doppler-képlettel. Ha a csillag sugara \(\displaystyle R\) és a tengelyforgási ideje \(\displaystyle T\), akkor a felszínén lévő atomok legnagyobb sebessége a látóiránnyal párhuzamosan
\(\displaystyle v=R\omega=\frac{2\pi R}{T}.\)
A Doppler-képlet szerint
\(\displaystyle \frac{\vert\Delta\lambda\vert}{\lambda_0}= \frac{v}{c}\)
(\(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban). Innen
\(\displaystyle T=\frac{2\pi R}{c}\,\frac{\lambda_0}{\vert\Delta\lambda\vert}=2\cdot 10^6~{\rm s}\approx 23~\text{(földi) nap}.\)
\(\displaystyle b)\) A megadott hullámhosszak számtani közepe \(\displaystyle (\overline{\lambda}\)) nem egyezik meg az álló hidrogénatomnak megfelelő \(\displaystyle \lambda_0\)-lal, annál \(\displaystyle \Delta\lambda=0{,}005\) nm-rel nagyobb. Ebből arra lehet következtetni, hogy a csillag (amellett, hogy forog)
\(\displaystyle v_0= \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}\, c\approx 3{,}7~ \frac{\rm km}{\rm s}\)
sebességgel távolodik tőlünk.
Statistics:
28 students sent a solution. 5 points: Békési Ábel, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Hisham Mohammed Almalki, Markó Gábor, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tafferner Zoltán, Tanner Norman, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony. 4 points: Bukor Benedek, Hervay Bence, Kovács Gergely Balázs, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály. 3 points: 4 students. 2 points: 3 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2019