Problem P. 5100. (February 2019)

P. 5100. Two cannons fire a ball at the same time towards each other from points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) as shown in the figure. The nozzle speed of the ball fired from the cannon at \(\displaystyle A\) is 40 m/s, whilst the nozzle speed of the ball fired from the cannon at \(\displaystyle B\) is 60 m/s. Do the two balls collide? If yes, where and when? If not, where do the balls hit the ground?

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk le a lövedékek mozgását egy olyan koordináta-rendszerből, amelynek origója az \(\displaystyle A\) ágyúnál van, és az \(\displaystyle x\) tengelye vízszintes. A két ágyút összekötő egyenes a vízszintessel \(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{600}{800}\approx 37^\circ\)-os szöget zár be, és az \(\displaystyle y\) tengely függőlegesen felfelé mutat.

A lövedékek koordinátái \(\displaystyle t\) idővel a kilövésük után:

\(\displaystyle x_1=\frac{4}{5} \left(40~\frac{\rm m}{\rm s}\right)t,\qquad y_1=\frac{3}{5} \left(40~\frac{\rm m}{\rm s}\right)t-\frac{g}{2}t^2,\)

\(\displaystyle x_2=800~{\rm m}-\frac{4}{5} \left(60~\frac{\rm m}{\rm s}\right)t,\qquad y_2=600~{\rm m}-\frac{3}{5} \left(60~\frac{\rm m}{\rm s}\right)t-\frac{g}{2}t^2.\)

A két lövedék eltalálná egymást, ha \(\displaystyle x_1=x_2\) és \(\displaystyle y_1=y_2\) teljesülne. Formálisan \(\displaystyle t=10~\)s jó megoldásnak látszik, de az összeütközés mégsem jön létre, mert ekkor \(\displaystyle y_1=y_2\approx -250~{\rm m}<0,\) a lövedékek tehát már a találkozásuk előtt a földbe csapódnak. Az \(\displaystyle y_1=0\) feltételből \(\displaystyle t=\)4,9 s és \(\displaystyle x_1=156\) m, \(\displaystyle y_2=0\)-ból pedig \(\displaystyle t_2=\)8,0 s és \(\displaystyle x_2=416~\)m adódik.

Statistics:

86 students sent a solution.
4 points:	53 students.
3 points:	18 students.
2 points:	4 students.
1 point:	8 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019