Problem P. 5101. (February 2019)

P. 5101. A space ship orbits along a circular path around the Earth, its period is 100 minutes. What is the area of the surface of the Earth which is seen by the astronaut at a certain instant? (Neglect the refraction of light due to the atmosphere.)

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Newton-féle gravitációs törvényből és a keringési időből kiszámítható a pálya sugara:

\(\displaystyle \frac{\gamma M}{(R+h)^2}=(R+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

ahol \(\displaystyle R\) a Föld sugara, \(\displaystyle h\) pedig a műhold pályájának magassága a Föld felszíne felett. Innen

\(\displaystyle h=\sqrt[3]{\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}}-R=760~\rm km.\)

Az űrhajós egy akkora gömbsüveg felszínét láthatja, amelyet a \(\displaystyle h\) magasságú pontból a Földhöz húzott érintő jelöl ki.

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{R}{R+h}, \qquad d=R(1-\cos\alpha)=\frac{Rh}{R+h},\)

vagyis a keresett terület:

\(\displaystyle A=\frac{d}{2R}\cdot 4\pi R^2=2\pi R^2\frac{h}{R+h}\approx 27~\text{millió km} ^2,\)

a Föld teljes felszínének kb. 5,4%-a.

Statistics:

67 students sent a solution.
4 points:	Andorfi István, Conrád Márk, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Ferjancsik Zaránd, Fiam Regina, Gál Péter Levente, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Lipták Gergő, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Murányi Albert, Osztényi József, Rusvai Miklós, Sas 202 Mór, Schrott Márton, Sepsi Csombor Márton, Sugár Soma, Tafferner Zoltán, Toronyi András, Vajay Mónika, Vass Bence, Viczián Anna.
3 points:	Bukor Benedek, Duong Phan, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Györgyfalvai Fanni, Kalmár Dóra, Kozák 023 Áron, Köpenczei Csenge, Laposa Hédi, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Merkl Gergely, Nagy Balázs, Nagyváradi Dániel, Schneider Anna, Simon Tamás, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Telek Dániel.
2 points:	9 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019