Problem P. 5102. (February 2019)

P. 5102. A trolley of mass \(\displaystyle m_1\) is moving at a speed of \(\displaystyle v_0\) along the horizontal floor towards another trolley of mass \(\displaystyle m_2\), which is at rest. On the top of each trolley there is a thin rectangular block of mass \(\displaystyle m\). The coefficient of static friction between the blocks and the surface of the trolleys is \(\displaystyle \mu_0\). There is a spring of spring constant \(\displaystyle D\) on the stationary trolley.

Will any of the blocks slide due to the collision?

Data: \(\displaystyle m_1=0.2~\rm kg\); \(\displaystyle m_2=m=0{.}1~\rm kg\); \(\displaystyle \mu_0=0.5\); \(\displaystyle D=12~\rm N/m\); \(\displaystyle v_0=1~\rm m/s\).

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kiskocsik ütközésekor a rugó egyre jobban összenyomódik, egyre nagyobb erőt fejt ki, és emiatt egyre nagyobb gyorsulást hoz létre a kiskocsikon. (A bal oldali kiskocsit lassítja, a jobb oldalit pedig gyorsítja.) A legnagyobb abszolút értékű gyorsulás a rugó legrövidebb állapotában jön létre, akkor, amikor a két kiskocsi egymáshoz viszonyított sebessége nulla, vagyis egyforma \(\displaystyle u\) nagyságú sebességgel mozognak.

Tételezzük fel, hogy a lapos hasábok még ebben a helyzetben sem csúsznak meg a kiskocsikon. Ennek az a feltétele, hogy a kiskocsik gyorsulása ne haladja meg a \(\displaystyle \mu_0 g\) értéket, hiszen a hasábok gyorsulását a tapadó súrlódási erő hozza létre, annak nagysága pedig legfeljebb \(\displaystyle \mu mg\) lehet.

Jelöljük a kiskocsiknak a hasábbal megnövelt tömegét \(\displaystyle M_1\)-gyel és \(\displaystyle M_2\)-vel (\(\displaystyle M_1=m_1+m=0{,}3~\)kg, \(\displaystyle M_2=m_2+m=0{,}2~\)kg). A lendületmegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle M_1v_0=\left(M_1+M_2\right)u,\)

az energiamegmaradás törvénye pedig így alkalmazható):

\(\displaystyle \frac{1}{2}M_1v_0^2=\frac{1}{2}\left(M_1+M_2\right)u^2+\frac{1}{2}Dx^2.\)

Innen \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle x\) kifejezhető az ismert adatokkal, nevezetesen

\(\displaystyle x=v_0\sqrt{D\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}}=0{,}1~\rm m,\)

azaz a rugóerő maximális értéke

\(\displaystyle F^\text{(max)}=Dx=1{,}2~\rm N.\)

A kiskocsik maximális gyorsulása (ha létrejön ez az állapot)

\(\displaystyle a_1^\text{(max)}=\frac{F^\text{(max)}}{M_1}=4~\frac{\rm m}{\rm s^2},\qquad a_2^\text{(max)}=\frac{F^\text{(max)}}{M_2}=6~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Mivel \(\displaystyle \mu_0 g\approx 5~ {\rm m}/{\rm s^2}\), látjuk, hogy a jobb oldali kiskocsin lévő lapos hasáb (még a rugó legnagyobb összenyomódása előtt) megcsúszik. Belátható, hogy a másik kiskocsin lévő hasáb sem ekkor, sem a későbbiekben nem csúszik meg, de a mozgás további részét nem a fenti egyenletek írják le.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Debreczeni Tibor, Erdélyi-Nagy Anna , Hervay Bence, Hubay Csenge, Kárpáti Kristóf, Köpenczei Csanád, Mácsai Dániel, Merkl Gergely, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Rusvai Miklós, Sugár Soma, Szoboszlai Szilveszter, Tanner Norman, Toronyi András, Vass Bence, Virág Levente.
3 points:	Fonyi Máté Sándor, Köpenczei Csenge, Ocskó Luca, Tafferner Zoltán, Vajay Mónika.
2 points:	7 students.
1 point:	8 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019