Problem P. 5103. (February 2019)

P. 5103. A slinky of mass \(\displaystyle m\) is suspended at one of its ends, due to its own weight it is extended to a length of \(\displaystyle L\). Then one end of the slinky is held at a height of \(\displaystyle H\) above a horizontal tabletop \(\displaystyle (H<L)\), so the slinky is not extended totally. What are the forces which are exerted at the suspension and at the support? (The unstretched length of the slinky is negligible with respect to \(\displaystyle H\).)

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rugó – ameddig követi a Hooke-törvényt – valamekkora \(\displaystyle D\) rugóállandóval jellemezhető. Amikor a rugó minden részét \(\displaystyle F\) erő feszíti (ez pl. egy vízszintes, súrlódásmentes asztallapon valósítható meg), a teljes rugó megnyúlása a Hooke-törvény szerint \(\displaystyle F/D\). Ha a rugóból levágjuk annak \(\displaystyle x\)-ed részét, vagyis \(\displaystyle m'=xm\) tömegű darabját \(\displaystyle (x<1)\), annak megnyúlása \(\displaystyle F\) feszítóerő hatására \(\displaystyle xF/D\), tehát a megrövidített rugó rugóállandója \(\displaystyle D'=D/x\). A megrövidített rugó tömege tehát a rövidítés mértékével egyenesen, a rugóállandója pedig fordítottan arányos.

Az asztal felett \(\displaystyle H\) magasan tartott rugó legalsó menete és az asztalon fekvő része között nem ébredhet rugalmas erő. (Ha ugyanis húzóerő lépne fel a két rész között, akkor a rugó lelógó részének alja valamennyi rugódarabot felemelne az asztalról, nyomóerő esetén pedig valahány menetnyi rugó ,,leülne'' az asztalra.) A két részt akár el is választhatjuk egymástól (a rugót elvághatjuk), a kérdezett erők emiatt nem változnának meg. A felfüggesztésnél ható erő tehát a függőlegesen lógó rész \(\displaystyle xm\) súlya, az alátámasztásnál ható erő pedig az asztalon fekvő rugódarab \(\displaystyle (1-x)m\) súlya, ahol \(\displaystyle x\) a függőleges rész és a teljes rugó menetszám-aránya.

A szabadon lógó teljes rugót a tetejénél \(\displaystyle mg\) erő, az aljánál pedig nulla erő feszíti. A rugó hosszát az átlagerőből számolt megnyúlás adja meg:

\(\displaystyle L=\frac{mg}{2}\frac{1}{D}.\)

Hasonló módon a megrövidített rugónál

\(\displaystyle H=\frac{m'g}{2}\frac{1}{D'}=\frac{xmg}{2}\frac{x}{D}=x^2\cdot L.\)

Innen \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{H}{L}}\), és a keresett erők:

\(\displaystyle F^\text{(fent)}=\sqrt{\frac{H}{L}}\cdot mg, \qquad F^\text{(lent)}=\left(1-\sqrt{\frac{H}{L}}\right)\cdot mg.\)

Statistics:

16 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Csépányi István, Elek Péter, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Telek Dániel, Viczián Anna.
3 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019