Problem P. 5104. (February 2019)
P. 5104. There is a sample of nitrogen gas in a container closed with a piston. The pressure of the gas is decreased by slowly pulling out the piston. What is the molar heat capacity of the gas in this process if 1% increase in the volume results in 0.5% change in the pressure?
(4 pont)
Deadline expired on March 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A nitrogéngáz molekuláinak szabadsági foka \(\displaystyle f=5\), és az állapotegyenletek:
\(\displaystyle pV=nRT,\qquad \text{valamint}\qquad E=\frac{5}{2}nRT.\)
Képezzük ezen egyenletek mindkét oldalának kicsiny megváltozását, vagyis írjuk fel a \(\displaystyle p+\Delta p\) nyomáshoz és \(\displaystyle V+\Delta V\) térfogathoz tartozó \(\displaystyle T+\Delta T\) hőmérséklet-változást, valamint számítsuk ki a belső energia \(\displaystyle \Delta E\) megváltozását. A kis mennyiségek szorzatát tartalmazó (másodrendűen kicsi) tagokat elhanyagolva:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle p\Delta V+V\Delta p=nR\Delta T,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \Delta E=\frac{5}{2}nR\Delta T.\) |
Felírhatjuk még a gázra a hőtan I. főtételét:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q=\Delta E+p\Delta V=\frac{7}{2}p\Delta V+\frac{5}{2}V\Delta p.\) |
A moláris hőkapacitás (régi nevén: mólhő) definíciója:
\(\displaystyle C=\frac{Q}{n\,\Delta T},\)
esetünkben
\(\displaystyle C= \frac{{7\frac{\Delta V}{V}}+5\frac{\Delta p}{p}}{2\frac{\Delta V}{V}+2\frac{\Delta p}{p}}R.\)
Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \frac{\Delta V}{V}=0{,}01 \) esetén \(\displaystyle \frac{\Delta p}{p}=-0{,}005\), vagyis
\(\displaystyle \frac{\Delta p}{p}=-\frac12\frac{\Delta V}{V},\)
tehát a keresett moláris hőkapacitás \(\displaystyle C=\frac{7-\frac{5}{2}}{2-1}R= \frac92 R.\)
Statistics:
28 students sent a solution. 4 points: Duong Phan, Györgyfalvai Fanni, Harcsa-Pintér András, Lipták Gergő, Nagyváradi Dániel, Schottner Kristóf Károly, Selmi Bálint, Szabó 314 László. 3 points: Bukor Benedek, Endrész Balázs, Fekete Levente, Hamar Dávid, Kovács Kristóf, Ludányi Levente, Merkl Levente, Telek Dániel, Tóth Ábel, Vass Bence. 2 points: 6 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, February 2019