Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5104. (February 2019)

P. 5104. There is a sample of nitrogen gas in a container closed with a piston. The pressure of the gas is decreased by slowly pulling out the piston. What is the molar heat capacity of the gas in this process if 1% increase in the volume results in 0.5% change in the pressure?

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A nitrogéngáz molekuláinak szabadsági foka \(\displaystyle f=5\), és az állapotegyenletek:

\(\displaystyle pV=nRT,\qquad \text{valamint}\qquad E=\frac{5}{2}nRT.\)

Képezzük ezen egyenletek mindkét oldalának kicsiny megváltozását, vagyis írjuk fel a \(\displaystyle p+\Delta p\) nyomáshoz és \(\displaystyle V+\Delta V\) térfogathoz tartozó \(\displaystyle T+\Delta T\) hőmérsékle-tváltozást, valamint számítsuk ki a belső energia \(\displaystyle \Delta E\) megváltozását. A kis mennyiségek szorzatát tartalmazó (másodrendűen kicsi) tagokat elhanyagolva:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle p\Delta V+V\Delta p=nR\Delta T,\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \Delta E=\frac{5}{2}nR\Delta T.\)

Felírhatjuk még a gázra a hőtan I. főtételét:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle Q=\Delta E+p\Delta V=\frac{7}{2}p\Delta V+\frac{5}{2}V\Delta p.\)

A moláris hőkapacitás (régi nevén: mólhő) definíciója:

\(\displaystyle C=\frac{Q}{n\,\Delta T},\)

esetünkben

\(\displaystyle C= \frac{{7\frac{\Delta V}{V}}+5\frac{\Delta p}{p}}{2\frac{\Delta V}{V}+2\frac{\Delta p}{p}}R.\)

Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \frac{\Delta V}{V}=0{,}01 \) esetén \(\displaystyle \frac{\Delta p}{p}=-0{,}005\), vagyis

\(\displaystyle \frac{\Delta p}{p}=-\frac12\frac{\Delta V}{V},\)

tehát a keresett moláris hőkapacitás \(\displaystyle C=\frac{7-\frac{5}{2}}{2-1}R= \frac92 R.\)


Statistics:

28 students sent a solution.
4 points:Duong Phan, Györgyfalvai Fanni, Harcsa-Pintér András, Lipták Gergő, Nagyváradi Dániel, Schottner Kristóf Károly, Selmi Bálint, Szabó 314 László.
3 points:Bukor Benedek, Endrész Balázs, Fekete Levente, Hamar Dávid, Kovács Kristóf, Ludányi Levente, Merkl Levente, Telek Dániel, Tóth Ábel, Vass Bence.
2 points:6 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019