Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5107. (February 2019)

P. 5107. A tetrahedron-shaped circuit is soldered from six resistors. Five of the resistors are alike and have the same resistance value whilst the sixth one is different. Only one ohm-meter is available, and the circuit, which seemingly contains six alike resistors cannot be taken apart. At most how many measurements are needed to find the resistor which has different resistance value, and also to find the resistance value of each resistor? If we are lucky, how many measurements are needed to find the resistance values?

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Legyen az egyforma ellenállások értéke \(\displaystyle R\), a tőlük különbözőé pedig \(\displaystyle X\). A síkba kiterített kapcsolási rajz az ábrán látható.

A különböző csomópontpárok között háromféle ellenállást mérhetünk:

\(\displaystyle i)\) Ha a mérőműszer nem csatlakozik az eltérő \(\displaystyle X\) ellenállás egyik végéhez sem:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle R_{CB}=R_1=\frac{1}{2}R.\)

\(\displaystyle ii)\) Ha a mérőműszer az eltérő \(\displaystyle X\) ellenállás mindkét végéhez csatlakozik:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle R_{AD}=R_2=\frac{X}{X+R}R,\)

\(\displaystyle iii)\) Ha a mérőműszer az eltérő \(\displaystyle X\) ellenállásnak csak az egyik végéhez csatlakozik:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle R_{AC}=R_{AB}=R_{DC}=R_{DB}=R_3=\frac{5X+3R}{8(X+R)}R.\)

(Az (1) és (2) összefüggéseket a megfelelő ekvipotenciális pontok felhasználásával, (3)-t pedig a három darab \(\displaystyle R\) ellenállású deltakapcsolás \(\displaystyle \tfrac13R\) ellenállásokból álló csillagkapcsolássá alakításával kaphatjuk meg. Természetesen a mérések csak \(\displaystyle R_1\), \(\displaystyle R_2\) és \(\displaystyle R_3\) számszerű értékét adják meg, de azt nem, hogy melyikük melyik esetnek felel meg.)

Megmutatjuk, hogy 4 mérés biztosan elegendő, de szerencsés esetben három is elvezethet a megoldáshoz. Ha megmérjük valamelyik (mondjuk a \(\displaystyle P\)-vel jelölt pontból kiinduló) két él végpontjai közötti eredő ellenállást, és egyforma értéket kapunk, akkor az biztosan \(\displaystyle R_3\), hiszen csak \(\displaystyle R_3\) fordulhat elő több pontpár közötti eredő ellenállásként. További 2 méréssel (a \(\displaystyle P\)-ből kiinduló harmadik él, illetve a \(\displaystyle P\)-re nem illeszkedő negyedik él mentén mérve) megkapjuk – valamilyen sorrendben – \(\displaystyle R_1\)-et és \(\displaystyle R_2\)-t. Amennyiben az első két mérés különböző eredményre vezetett, akkor megmérjük az egyik ág ,,folytatását'' jelentő (de nem zárt háromszöget kialakító) harmadik él mentén az eredő ellenállást. Ha ez az első két mérés valamelyikének eredményével megegyezik, akkor az csak \(\displaystyle R_3\) lehet, a másik \(\displaystyle R_1\) vagy \(\displaystyle R_2\), és egy negyedik mérés megadja a hiányzó \(\displaystyle R_2\)-t, illetve \(\displaystyle R_1\)-et. Ha olyan szerencsénk van, hogy a ,,láncban'' elvégzett három mérés három különböző eredményt ad, akkor a középső kell legyen \(\displaystyle R_3\) (hiszen az \(\displaystyle R_1\)-et és \(\displaystyle R_2\)-t eredményező ágak nem szomszédosak), így már három mérésből megtudtuk \(\displaystyle R_3\) értékét, valamint – a sorrendjüket ugyan nem ismerve – \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) nagyságát is.

Hogyan választhatjuk ki \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) valamilyen sorrendben megmért értékeiből, hogy melyik melyik? Feltételezzük az egyik mérésről, hogy az \(\displaystyle R_1\). A mért ellenállásból és az (1) összefüggésből kiszámítjuk \(\displaystyle R\)-et, \(\displaystyle R_3\) mért értékéből (3) alapján kiszámítjuk \(\displaystyle X\)-et, majd (2)-t összevetjük a harmadik mérési adattal. Ha jó az egyezés, akkor helyesen azonosítottuk az eltérő ellenállás helyét, ha nem, akkor fordított szereposztással megismételjük az azonosítást.

Az itt ismertetett eljárást az teszi lehetővé, hogy három mérési adatunk van (\(\displaystyle R_1\), \(\displaystyle R_2\) és \(\displaystyle R_3\)), de csak két ismeretlen (\(\displaystyle R\) és \(\displaystyle X\)). Az egyenletek túlhatározottságát felhasználhatjuk a harmadik ,,ismeretlen'', az eltérő nagyságú ellenállás helyének meghatározására.


Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:Elek Péter, Jánosik Áron, Lipták Gergő, Markó Gábor, Máth Benedek.
4 points:Bokor Endre, Czett Mátyás, Keltai Dóra, Sal Dávid.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019