Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5108. feladat (2019. február)

P. 5108. Mekkora az a legkisebb sebesség, amellyel az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle q\) töltésű testet vákuumban fellőve már eljut a függőlegesen fölötte \(\displaystyle \ell\) távolságban rögzített, \(\displaystyle Q\) töltésű testhez? (\(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle q\) ellentétes előjelű töltések.)

Adatok: \(\displaystyle m=10^{-5}\) kg, \(\displaystyle q=4{,}0\cdot 10^{-9}\) C, \(\displaystyle Q= - 1{,}0\cdot 10^{-7}\) C, \(\displaystyle \ell=0{,}36~\)m.

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A feldobás helyén a fellőtt testre (lefelé) ható \(\displaystyle mg\) nehézségi erő nagyobb, mint a testet felfelé húzó \(\displaystyle kq\vert Q\vert/\ell^2\) Coulomb-erő, ezért a test sebessége fokozatosan csökken. A magasság növekedtével az elektrosztatikus vonzás egyre erősebbé válik, és lesz egy olyan pont, ahonnan a test már ,,magától'' gyorsul felfelé. Határozzuk meg azt az \(\displaystyle x_0\) magasságot, ahol a testre ható erők eredője éppen nulla. Ha idáig eljut a fellőtt töltött test, akkor már biztosan eléri a \(\displaystyle Q\) töltésű másik testet. A

\(\displaystyle k\frac{q\vert Q\vert}{(\ell-x_0)^2}=mg\)

egyenletből

\(\displaystyle x_0=\ell-\sqrt{\frac{kq\vert Q\vert}{mg}}=0{,}168~\rm m.\)

Mekkora lesz ebben a magasságban a test \(\displaystyle v\) sebessége, ha a fellövéskor \(\displaystyle v_0\) sebességgel indult? A munkatétel szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+k\frac{qQ}{\ell}=\frac{1}{2}mv^2+k\frac{qQ}{\ell-x_0}+mgx_0.\)

Mivel \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2\ge 0\), teljesülnie kell az

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2 \ge mgx_0+\frac{kqQ}{\ell-x}-\frac{kqQ}{\ell}= \left(1{,}6 5-1{,}87 + 1{,}0 \right)\cdot 10^{-5}~\rm J= 7{,}8\cdot 10^{-6}~\rm J\)

egyenlőtlenségnek.

Ezek szerint a kis test kezdősebessége legalább \(\displaystyle 1{,}25~\frac{\rm m}{\rm s}\) kell, hogy legyen.


Statisztika:

A P. 5108. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári fizika feladatai