Problem P. 5108. (February 2019)

P. 5108. At least what speed should a small object of mass \(\displaystyle m\) and of charge \(\displaystyle q\) be projected upward in vacuum in order that it reaches another object of charge \(\displaystyle Q\), (vertically) above it at a height of \(\displaystyle \ell\)? (\(\displaystyle Q\) and \(\displaystyle q\) are opposite charges.)

Data: \(\displaystyle m=10^{-5}\) kg, \(\displaystyle q=4.0\cdot10^{-9}\) C, \(\displaystyle Q= - 1.0\cdot10^{-7}\) C, \(\displaystyle \ell=0.36\) m.

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feldobás helyén a fellőtt testre (lefelé) ható \(\displaystyle mg\) nehézségi erő nagyobb, mint a testet felfelé húzó \(\displaystyle kq\vert Q\vert/\ell^2\) Coulomb-erő, ezért a test sebessége fokozatosan csökken. A magasság növekedtével az elektrosztatikus vonzás egyre erősebbé válik, és lesz egy olyan pont, ahonnan a test már ,,magától'' gyorsul felfelé. Határozzuk meg azt az \(\displaystyle x_0\) magasságot, ahol a testre ható erők eredője éppen nulla. Ha idáig eljut a fellőtt töltött test, akkor már biztosan eléri a \(\displaystyle Q\) töltésű másik testet. A

\(\displaystyle k\frac{q\vert Q\vert}{(\ell-x_0)^2}=mg\)

egyenletből

\(\displaystyle x_0=\ell-\sqrt{\frac{kq\vert Q\vert}{mg}}=0{,}168~\rm m.\)

Mekkora lesz ebben a magasságban a test \(\displaystyle v\) sebessége, ha a fellövéskor \(\displaystyle v_0\) sebességgel indult? A munkatétel szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+k\frac{qQ}{\ell}=\frac{1}{2}mv^2+k\frac{qQ}{\ell-x_0}+mgx_0.\)

Mivel \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2\ge 0\), teljesülnie kell az

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2 \ge mgx_0+\frac{kqQ}{\ell-x_0}-\frac{kqQ}{\ell}\)

egyenlőtlenségnek. Ezek szerint a kis test kezdősebessége legalább \(\displaystyle 1{,}25~\frac{\rm m}{\rm s}\) kell, hogy legyen.

Statistics:

72 students sent a solution.
5 points:	Andorfi István, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csépányi István, Duong Phan, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Lipták Gergő, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Sugár Soma, Szoboszlai Szilveszter, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Varga Vázsony, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Virág Levente, Zámbori Zalán.
4 points:	23 students.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019