Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5110. feladat (2019. február)

P. 5110. A Föld körül keringő két mesterséges hold pályájának fél nagytengelye ugyanakkora. A holdak pálya menti sebességeinek aránya a perigeumban (földközelpontban) \(\displaystyle \frac32\), és az itt nagyobb sebességű hold pályájának excentricitása 0,5.

Határozzuk meg pálya menti sebességük arányát az apogeumban (földtávolpontban), és számítsuk ki a másik mesterséges hold pályájának excentricitását!

Csillagászati versenyfeladat nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a műhold sebességét a földközelpontban \(\displaystyle v\)-vel, a földtávolpontban \(\displaystyle u\)-val. A szokásos jelölésekkel az ellipszis fél nagytengelye \(\displaystyle a\), a fókuszpont és az ellipszis középpontjának távolsága \(\displaystyle c=\epsilon a\), a fél kistengely pedig \(\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^2}\).

Fejezzük ki \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle \epsilon\) segítségével \(\displaystyle v\)-t és \(\displaystyle u\)-t! Alkalmazhatjuk Kepler II. törvényét:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle va(1-\epsilon)=ua(1+\epsilon),\)

illetve az energiamegmaradás törvényét:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \frac{v^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1-\epsilon)}= \frac{u^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1+\epsilon)}.\)

(\(\displaystyle M\) a Föld tömege.) Ebből a két összefüggésből kifejezhetők a sebességek:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}},\)
\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle u=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}}.\)

Úgy is eljuthatunk (3) és (4)-hez, ha a Newton-féle gravitációs törvényt és Newton-féle mozgásegyenletet írjuk fel a perigeumban és az apogeumban:

\(\displaystyle \frac{v^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1-\epsilon\right)}^2}, \qquad \frac{u^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1+\epsilon\right)}^2},\)

és kihasználjuk, hogy az ellipszis csúcsainál a görbületi sugár

\(\displaystyle \varrho=\frac{b^2}{a}=a\left(1-\epsilon^2\right).\)

Írjuk fel (3)-t és (4)-t a feladatban szereplő két mesterséges hold pályájára:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_1}{1-\epsilon_1}},\)
\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle u_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_1}{1+\epsilon_1}},.\)

valamint

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_2}{1-\epsilon_2}},\)
\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle u_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_2}{1+\epsilon_2}}.\)

(kihasználtuk, hogy mindkét műhold pályájának fél nagytengelye ugyanakkora.)

Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \epsilon_1=\frac12\) és \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac32,\) így (5) és (7) felhasználásával \(\displaystyle \epsilon_2=\frac17\), (6) és (8)-ból pedig az \(\displaystyle \frac{u_1}{u_2}=\frac23 \) eredmény adódik.


Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Andorfi István, Békési Ábel, Csépányi István, Duong Phan, Elek Péter, Fekete András Albert, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Olosz Adél, Sal Dávid, Schneider Anna, Szabó 314 László, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Tran Quoc Dat, Varga Vázsony, Vaszary Tamás.
5 pontot kapott:Bokor Endre, Marozsák Tádé.
4 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2019. februári fizika feladatai