Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5110. feladat (2019. február)

P. 5110. A Föld körül keringő két mesterséges hold pályájának fél nagytengelye ugyanakkora. A holdak pálya menti sebességeinek aránya a perigeumban (földközelpontban) \(\displaystyle \frac32\), és az itt nagyobb sebességű hold pályájának excentricitása 0,5.

Határozzuk meg pálya menti sebességük arányát az apogeumban (földtávolpontban), és számítsuk ki a másik mesterséges hold pályájának excentricitását!

Csillagászati versenyfeladat nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a műhold sebességét a földközelpontban \(\displaystyle v\)-vel, a földtávolpontban \(\displaystyle u\)-val. A szokásos jelölésekkel az ellipszis fél nagytengelye \(\displaystyle a\), a fókuszpont és az ellipszis középpontjának távolsága \(\displaystyle c=\epsilon a\), a fél kistengely pedig \(\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^2}\).

Fejezzük ki \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle \epsilon\) segítségével \(\displaystyle v\)-t és \(\displaystyle u\)-t! Alkalmazhatjuk Kepler II. törvényét:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle va(1-\epsilon)=ua(1+\epsilon),\)

illetve az energiamegmaradás törvényét:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \frac{v^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1-\epsilon)}= \frac{u^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1+\epsilon)}.\)

(\(\displaystyle M\) a Föld tömege.) Ebből a két összefüggésből kifejezhetők a sebességek:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}},\)
\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle u=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}}.\)

Úgy is eljuthatunk (3) és (4)-hez, ha a Newton-féle gravitációs törvényt és Newton-féle mozgásegyenletet írjuk fel a perigeumban és az apogeumban:

\(\displaystyle \frac{v^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1-\epsilon\right)}^2}, \qquad \frac{u^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1+\epsilon\right)}^2},\)

és kihasználjuk, hogy az ellipszis csúcsainál a görbületi sugár

\(\displaystyle \varrho=\frac{b^2}{a}=a\left(1-\epsilon^2\right).\)

Írjuk fel (3)-t és (4)-t a feladatban szereplő két mesterséges hold pályájára:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_1}{1-\epsilon_1}},\)
\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle u_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_1}{1+\epsilon_1}},.\)

valamint

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_2}{1-\epsilon_2}},\)
\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle u_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_2}{1+\epsilon_2}}.\)

(kihasználtuk, hogy mindkét műhold pályájának fél nagytengelye ugyanakkora.)

Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \epsilon_1=\frac12\) és \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac32,\) így (5) és (7) felhasználásával \(\displaystyle \epsilon_2=\frac17\), (6) és (8)-ból pedig az \(\displaystyle \frac{u_1}{u_2}=\frac23 \) eredmény adódik.


Statisztika:

A P. 5110. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári fizika feladatai