Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5110. (February 2019)

P. 5110. The lengths of the semi-major axis of two satellites orbiting around the Earth are the same. The ratio of the speeds of the two satellites when they are at perigee (the point at which the satellite is the closest to the Earth) is \(\displaystyle \tfrac32\), and the eccentricity of the orbit of that satellite which is faster at this point is 0.5.

Determine the ratio of the speeds of the satellites when they are at apogee (at the furthest point from the Earth), and the eccentricity of the path of the other satellite.

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a műhold sebességét a földközelpontban \(\displaystyle v\)-vel, a földtávolpontban \(\displaystyle u\)-val. A szokásos jelölésekkel az ellipszis fél nagytengelye \(\displaystyle a\), a fókuszpont és az ellipszis középpontjának távolsága \(\displaystyle c=\epsilon a\), a fél kistengely pedig \(\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^2}\).

Fejezzük ki \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle \epsilon\) segítségével \(\displaystyle v\)-t és \(\displaystyle u\)-t! Alkalmazhatjuk Kepler II. törvényét:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle va(1-\epsilon)=ua(1+\epsilon),\)

illetve az energiamegmaradás törvényét:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \frac{v^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1-\epsilon)}= \frac{u^2}{2}-\frac{\gamma M}{a(1+\epsilon)}.\)

(\(\displaystyle M\) a Föld tömege.) Ebből a két összefüggésből kifejezhetők a sebességek:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}},\)
\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle u=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}}.\)

Úgy is eljuthatunk (3) és (4)-hez, ha a Newton-féle gravitációs törvényt és Newton-féle mozgásegyenletet írjuk fel a perigeumban és az apogeumban:

\(\displaystyle \frac{v^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1-\epsilon\right)}^2}, \qquad \frac{u^2}{\varrho}=\frac{\gamma M}{a^2\,{\left(1+\epsilon\right)}^2},\)

és kihasználjuk, hogy az ellipszis csúcsainál a görbületi sugár

\(\displaystyle \varrho=\frac{b^2}{a}=a\left(1-\epsilon^2\right).\)

Írjuk fel (3)-t és (4)-t a feladatban szereplő két mesterséges hold pályájára:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_1}{1-\epsilon_1}},\)
\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle u_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_1}{1+\epsilon_1}},.\)

valamint

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1+\epsilon_2}{1-\epsilon_2}},\)
\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle u_2=\sqrt{\frac{\gamma M}{a}\,\frac{1-\epsilon_2}{1+\epsilon_2}}.\)

(kihasználtuk, hogy mindkét műhold pályájának fél nagytengelye ugyanakkora.)

Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \epsilon_1=\frac12\) és \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac32,\) így (5) és (7) felhasználásával \(\displaystyle \epsilon_2=\frac17\), (6) és (8)-ból pedig az \(\displaystyle \frac{u_1}{u_2}=\frac23 \) eredmény adódik.


Statistics:

33 students sent a solution.
6 points:Andorfi István, Békési Ábel, Csépányi István, Duong Phan, Elek Péter, Fekete András Albert, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Olosz Adél, Sal Dávid, Schneider Anna, Szabó 314 László, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Tran Quoc Dat, Varga Vázsony, Vaszary Tamás.
5 points:Bokor Endre, Marozsák Tádé.
4 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2019