Problem P. 5112. (March 2019)

P. 5112. From a wall of height \(\displaystyle H\) a snowball was thrown at an initial speed of \(\displaystyle v_0\) and at an angle of \(\displaystyle \alpha\) with respect to the horizontal. A child, who was at a distance of \(\displaystyle s\) from the wall, began to run at the same moment when the snowball was thrown. What was the initial direction and speed of the child, if he ran at a constant speed along a straight line and the snowball hit him? (Air drag is negligible.) Both the motions of the child and the snowball are in a vertical plane, which is perpendicular to the wall.

Data: \(\displaystyle H=45\) m, \(\displaystyle s=21\) m, \(\displaystyle v_0=5\) m/s, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\).

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az eldobott hógolyó mozgásának \(\displaystyle t\) idejét a

\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2-v_0t\sin\alpha=H\)

másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: \(\displaystyle t\approx 3{,}3~\)s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban

\(\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 14{,}3~\rm m\)

utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek \(\displaystyle s=21\) m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha

\(\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 2{,}0~\frac{\rm m}{\rm s}\)

sebességgel egyenletesen halad, a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.

Megjegyzés. A feladat szövege úgy is értelmezhető, hogy a fal tetejéről a vízszinteshez képest lefelé dobtuk el a hógolyót. Ekkor az esés idejét a

\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2+v_0t\sin\alpha=H\)

másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: \(\displaystyle t\approx 2{,}8~\)s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban

\(\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 12{,}0~\rm m\)

utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek \(\displaystyle s=21\) m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha

\(\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 3{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}\)

sebességgel egyenletesen halad (szalad), a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.

A fizika szempontjából mindkét értelmezés elfogadható, bár az első életszerűbb. (A hógolyókat általában ferdén felfelé dubjuk el, vízszintes talajon nem is tehetünk másképp. A fal tetejéről is csak akkor dobhatjuk el a hógolyót ferdén lefelé, ha közvetlenül a fal szélénél állunk, ez viszont nagyon veszélyes ,,mutatvány'' lenne.)

A pontversenyben bármelyik értelmezés szerinti helyes megoldásra a teljes pontszám jár.

Statistics:

76 students sent a solution.
4 points:	62 students.
3 points:	8 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2019