Problem P. 5116. (March 2019)
P. 5116. Two spherical shells of inner radius \(\displaystyle R\) and \(\displaystyle 3R\) are placed far from each other. They are made of some thin conducting material, the width of their wall \(\displaystyle d\) is thin: \(\displaystyle d\ll R\). At the centres of the spheres there are charges of \(\displaystyle 2Q\) and \(\displaystyle Q\). What is the minimum work which should be done in order to interchange the charges? (There are small holes on the walls.)
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Jelöljük a gömbhéjak belső sugarát \(\displaystyle R_1\)-gyel és \(\displaystyle R_2\)-vel, kezdeti töltésüket \(\displaystyle Q_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_2\)-vel. (Esetünkben \(\displaystyle R_1=R\), \(\displaystyle R_2=3R\), \(\displaystyle Q_1=2Q\), \(\displaystyle Q_2=Q\), de a megoldást általános esetre is megadjuk.)
A két (egymástól távol lévő) gömbhéjon belül és azon kívül is az elektromos mező ugyanolyan, mint egy-egy ponttöltés (vagy kicsiny, gömbszimmetrikusan eloszló töltés) Coulomb-féle elektrosztatikus erőtere. A különbség ,,mindössze'' annyi, hogy a vezető gömbhéj elektromos megosztása miatt annak \(\displaystyle d\) vastagságú ,,belsejében'' az elektromos térerősség nulla. A \(\displaystyle Q_1\) töltés körül például ilyen az elektromos mező:
\(\displaystyle E(r) =\begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2}, & \text{ha \(\displaystyle 0<r<R_1\)}; \\ 0, & \text{ha \(\displaystyle R_1<r<R_1+d;\)}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2},&\text{ha \(\displaystyle r>R_1+d;\)} \end{cases}\)
ahol \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle Q_1\) töltéstől mért távolság.
Hasonló elektromos mező alakul ki a másik töltés körül is, csak ott \(\displaystyle Q_1\) helyébe \(\displaystyle Q_2\) kerül, a gömbhéj sugara \(\displaystyle R_2\), és \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle Q_2\) töltéstől mért távolság. Ha a két gömbhéj elegendően messze van egymástól, a két erőtér ,,nem zavarja'' egymást, az eredő tér a kettő szuperpozíciója lesz.
Számítsuk ki az egész elrendezés elektrosztatikus energiáját az eredeti, majd a töltések felcserélése utáni esetben. A töltéscsere során végzett munka legalább annyi kell legyen, amennyi az elektrosztatikus energia megváltozása (növekedése).
Jelöljük a két töltés elektrosztatikus energiáját \(\displaystyle W_0\)-lal abban az esetben, amikor nincsenek ott a vezető gömbhéjak. (Pontszerű töltésekre ez az energia végtelen nagy lenne, azonban tetszőlegesen kicsi, de véges \(\displaystyle r_0\) sugarú gömbbe zárt töltésekre már véges mennyiség.) Az elektrosztatikus mező energiasűrűsége (egységnyi térfogatra jutó energiája) \(\displaystyle \tfrac12\varepsilon_0 E^2\), így a két töltésből és a két gömbhéjból álló rendszer energiája a ,,hiányzó'' részek levonásával így kapható meg. A hiányzó részben az elektromos térerősség pontosan olyan, mint egy megfelelő töltésű és méretű gömbkondenzátorban, az elektrosztatikus energia is ennek megfelelően számolható:
\(\displaystyle W_\text{kezdeti}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_2^2}{R_2(R_2+d)}\right).\)
Hasonló módon a töltések felcserélése utáni elrendezés elektrosztatikus energiája:
\(\displaystyle W_\text{végső}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_1^2}{R_2(R_2+d) }\right),\)
a szükséges munkavégzés pedig (legalább)
\(\displaystyle W=W_\text{végső}-W_\text{kezdeti}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1(R_1+d)}-\frac{1}{R_2(R_2+d)}\right).\)
(Vegyük észre, hogy \(\displaystyle W\) képletéből \(\displaystyle W_0\) kiesett, így annak tetszőlegesen nagy értéke mellett a szükséges munkavégzés véges marad, és nem függ a töltések \(\displaystyle r_0\) sugarától.)
A töltések és gömbhéjsugarak megadott értéke mellett \(\displaystyle d\ll R\) esetén:
\(\displaystyle W\approx\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.\)
II. megoldás. A \(\displaystyle Q_1\) és \(\displaystyle Q_2\) töltések felcserélése helyett úgy is elérhetjük a végállapotot, ha az egyik gömbhéj közepénél lévő \(\displaystyle Q_1\) töltésből \(\displaystyle \Delta Q=Q_1-Q_2\) nagyságú töltést átvezetünk a másik gömbhéj közepéhez. Az átvezetést úgy oldhatjuk meg, hogy a gömbhéjakon lévő kis lyukakon keresztül egy szigetelt vezetéket és egy áramgenerátort kapcsolunk a töltéseket ,,tároló'' és ugyancsak vezetőnek gondolt, \(\displaystyle r_0\) sugarú gömbökhöz. (A vezeték ugyan eltorzítja a gömbhéj töltéseloszlását, és ezt a torzító hatást elég nehéz lenne figyelembe venni, de ugyanilyen zavart okoz minden más módon történő töltéscsere.) A generátor által végzett munka \(\displaystyle U\cdot \Delta Q\), ahol \(\displaystyle U\) a töltéstároló gömbök közötti feszültség, vagy ha ez feszültség a töltésáramlás közben változna, akkor a feszültség átlagos értéke.
Egyetlen töltés helyén az elektromos potenciál (a végtelen távoli ponthoz viszonyítva) a nagyon távoli pont és a gömbhéj külső felülete közötti feszültség, valamint a gömbhéj belső felülete és a töltés helye közötti potenciálkülönbség összege. A kezdeti állapotban a \(\displaystyle Q_1\) töltés helyén a potenciál
\(\displaystyle \Phi_1=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1+d}+\frac{1}{r_0}-\frac{1}{R_1}\right) \approx \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_1^2}\right),\)
a másik töltésnél jó közelítéssel
\(\displaystyle \Phi_2= \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_2^2}\right),\)
a feszültség tehát kezdetben
\(\displaystyle U_\text{kezdeti} =\Phi_2-\Phi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2-Q_1}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2}{R_2^2}-\frac{Q_1}{R_1^2}\right). \)
A töltéscsere utáni állapotban a feszültség
\(\displaystyle U_\text{végső} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1-Q_2}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_2^2}-\frac{Q_2}{R_1^2}\right). \)
Látjuk, hogy a feszültség a töltésátrendeződés közben nem marad állandó, de mivel a változás a töltés változásával arányos (lineáris), az átlagos feszültség a kezdeti és a végső feszültség számtani közepe:
\(\displaystyle U_\text{átlag}=\frac{U_\text{kezdeti}+U_\text{végső}}{2}= \frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1+Q_2\right)\,\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right).\)
(Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle 1/r_0\)-lal arányos, pontszerű töltéseknél végtelenhez tartó tag kiesik az átlagfeszültségből.)
A szükséges (minimális) munka:
\(\displaystyle W=\Delta Q\cdot U_\text{átlag}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right) =\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.\)
Statistics:
14 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Elek Péter, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Sal Dávid, Sas 202 Mór. 4 points: Fekete András Albert, Mácsai Dániel, Szabó 314 László. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2019