Problem P. 5117. (March 2019)

P. 5117. A golden wedding ring is positioned such that the magnetic induction vector of the Earth is parallel to the ring. The ring is rotated uniformly by \(\displaystyle 180^\circ\) in 1 second. The axis of rotation is in the plane of the ring, and

\(\displaystyle a)\) parallel to the magnetic induction vector;

\(\displaystyle b)\) perpendicular to the magnetic induction vector.

In which case do we have to do more work, while the ring is turned? Estimate the difference between the values of the performed work in the two cases.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle a)\) esetben a gyűrűn áthaladó mágneses fluxus nem változik, tehát nem indukálódik feszültség a gyűrűben.

A \(\displaystyle b)\) esetben a gyűrű egy egymenetes, rövidrezárt forgórészű generátorként ,,működik'', amelyben a változó mágneses fluxus feszültséget indukál, az pedig áramot hoz létre. A gyűrű forgatásakor a súrlódási és egyéb veszteségek mellett a Joule-hőt is fedezni kell, tehát ilyenkor több munkát kell végezzünk.

Hozzávetőleges becslés:

a gyűrű karikájának sugara: \(\displaystyle R\approx 1~\rm cm\);

a karika területe: \(\displaystyle A\approx 3~\rm cm^2\);

a gyűrű (az aranyszál) vastagsága: \(\displaystyle 2r\approx2\) mm;

a földi mágneses mező indukciója: \(\displaystyle B\approx 5\cdot 10^{-5}~\)T.

A gyűrűn áthaladó mágneses fluxus (ha a mágneses indukcióvektor éppen merőleges a gyűrű síkjára):

\(\displaystyle \Phi=BA\approx1{,}5\cdot 10^{-8}~\)Wb;

a forgás szögsebessége: \(\displaystyle \omega\approx 3~\rm s^{-1}\);

az indukált feszültség maximális értéke: \(\displaystyle U_\text{max.}\approx \Phi\,\omega=4{,}5\cdot 10^{-8}~\)V;

a gyűrű kerülete: \(\displaystyle L=2R\pi\approx 6\cdot10^{-2}~\rm m\);

a gyűrű anyagának keresztmetszete: \(\displaystyle A_0\approx r^2\pi\approx 3\cdot 10^{-6}~\rm m^2\);

az arany fajlagos ellenállása: \(\displaystyle \varrho= 2\cdot10^{-8}\,\Omega\,\rm m\);

a gyűrű ellenállása: \(\displaystyle R_0=\varrho L/A_0=4\cdot 10^{-4}\,\Omega\),

így a végzett munkák különbsége: \(\displaystyle W=P_\text{eff.}\cdot\Delta T=\frac{1}{2}\frac{U_\text{max.}^2}{R_0}\cdot 1~{\rm s}\approx 5\cdot 10^{-13}\,\rm J.\)

Statistics:

10 students sent a solution.
5 points:	Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Olosz Adél, Vaszary Tamás.
4 points:	Bokor Endre, Molnár Mátyás, Viczián Anna.
3 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2019