Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5129. (April 2019)

P. 5129. There is a circular conducting loop of radius \(\displaystyle R\ll \ell\) around a very long solenoid of radius \(\displaystyle r\), with number of turns \(\displaystyle N\) and of turn density \(\displaystyle n=N/\ell\), as shown in the figure. What is the reading on an ideal voltmeter connected across the terminals of the solenoid, if the current that flows in the circular loop is changing uniformly in time, according to the formula \(\displaystyle I(t)=\alpha\cdot t\)?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Jelöljük a körvezető adatait 1-es, a szolenoidét pedig 2-es indexszel. Ha a körvezetőben egy adott pillanatban \(\displaystyle I_1(t)\) erősségű áram folyik, annak mágneses tere a szolenoidban \(\displaystyle \Phi_2(t)=I_1(t)\,L_{1,2}\) mágneses fluxust hoz létre, ahol \(\displaystyle L_{1,2}\) a két vezető kölcsönös indukciós együtthatója. (A kölcsönös indukciós együttható a vezetékek alakjától és térbeli elhelyezkedésüktől függő, de időben állandó mennyiség.) Ha sikerül meghatározni ezt az együtthatót, akkor a voltmérő által mutatott feszültség nagysága már könnyen megkapható:

\(\displaystyle U_2=\frac{\Delta \Phi_2}{\Delta t}= \frac{\Delta I_1}{\Delta t}L_{1,2}=\alpha\cdot L_{1,2}.\)

A kölcsönös indukciós együttható érdekes tulajdonsága, hogy a szerepek felcserélésére nézve szimmetrikus:

\(\displaystyle L_{1,2}=L_{2,1},\)

vagyis a körvezető egységnyi erősségű árama ugyanakkora mágneses fluxust hoz létre a szolenoidban, mint amekkora fluxust eredményez a szolenoidban folyó egységnyi erősségű áram a körvezetőben. Ez utóbbi elrendezést könnyebb kiszámítani, hiszen ha a szolenoidban \(\displaystyle I_2\) áram folyik, az a szolenoid belsejében homogénnek tekinthető,

\(\displaystyle B=\mu_0\frac{I_2N}{\ell}=\mu_0 n\cdot I_2\)

indukciójú mágneses teret, vagyis

\(\displaystyle \Phi_2=B\,r^2\pi=\mu_0 nr^2\pi\cdot I_2 \)

mágneses fluxust eredményez. Ez a fluxus teljes egészében áthalad az \(\displaystyle R\) sugarú körvezetőn, és mivel \(\displaystyle \ell\gg R\) esetén a szórt mágneses tér kicsi (az erővonalak jó közelítéssel a körvezetőn kívül jutnak vissza a szolenoid egyik végétől a másikig), \(\displaystyle \Phi_2=\Phi_1\), a keresett kölcsönös indukciós együttható:

\(\displaystyle L_{1,2}=L_{2,1}=\mu_0 nr^2\pi,\)

vagyis az ideális voltmérő által mutatott feszültség:

\(\displaystyle U=\mu_0 nr^2\pi\alpha.\)

(Érdekes, hogy \(\displaystyle U\) nem függ a körvezető \(\displaystyle R\) sugarától.)

II. megoldás. Az indukált feszültség közvetlen módon, a szoleniod meneteiben indukálódó feszültségek összegzésével is kiszámítható. Ismert (lásd pl. a ,,Négyjegyű függvénytáblázatok'' 153. old., vagy a Biot–Savart-törvényt), hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú körvezető mágneses mezőjének indukcióvektora a kör tengelyében a középponttól \(\displaystyle x\) távolságban

\(\displaystyle B(x)=\frac{\mu_0}{2} \,\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}I,\)

amit az ábra jelöléseit használva

\(\displaystyle B(\varphi)=\frac{\mu_0}{2R} \,{\cos^3\varphi}I(t)\)

alakban is felírhatunk. Tekintsük most a vékony (\(\displaystyle r\ll R\) sugarú) szolenoidnak azt a darabját, amit a körvezető valamely pontjából \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle \varphi+\Delta\varphi\) szögek között látunk. Ennek a szolenoiddarabnak

\(\displaystyle \Delta x\approx \frac{L\Delta\varphi}{\cos\varphi}=\frac{R\Delta\varphi}{\cos^2\varphi}\)

a hossza, és benne \(\displaystyle n\Delta x\) számú, \(\displaystyle r^2\pi\) keresztmetszetű menet található. A teljes szolenoidban indukálódó feszültség \(\displaystyle I(t)=\alpha t\) módon változó áramerősség esetén

\(\displaystyle U=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\alpha \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi.\)

Az összegzés során (mivel a szolenoid ,,igen hosszú'') a \(\displaystyle \varphi\) szög \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\)-től \(\displaystyle +\frac{\pi}{2}\)-ig változik, és ekkor a fenti képletben szereplő összeg számértéke 1. Ezt pl. integrálszámítással láthatjuk be:

\(\displaystyle \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi\approx \int\limits_{-\pi/2}^{+\pi/2}\frac{\cos\varphi}{2}\,{\rm d}\varphi=1.\)

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt elemi úton, egy mechanikai analógia segítségével is megkaphatjuk. Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű, pontszerű testet egy \(\displaystyle R\) sugarú, függőleges síkú körvonal mentén mozgatunk a kör legmélyebb pontjától a legmagasabb pontjáig, akkor a test helyzeti energiájának megváltozása:

\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}=mg\cdot 2R,\)

és ugyanennyi a test emelése során végzett munka:

\(\displaystyle W=\sum F_\text{érintőleges}\,\Delta s=\sum mg\cos\varphi\cdot R\Delta \varphi=mg\cdot 2R.\)

(\(\displaystyle \varphi\) a test helyzetét jellemző, a vízszintestől mért szög.) Innen \(\displaystyle 2mgR\)-rel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi\approx 1,\)

és a közelítés annál pontosabb, minél kisebb részekre osztjuk fel a körvonalat.

III. megoldás. Legyen az \(\displaystyle I(t)\) erősségű árammal átjárt körvezető által létrehozott mágneses indukciónak tengely irányú komponense a szolenoid belsejében \(\displaystyle {B}(x)\), (aminek konkrét alakját nem szükséges ismernünk). A szolenoid \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú darabján \(\displaystyle n\Delta x\) számú, egyenként \(\displaystyle r^2\pi\) területű menet van, az ezeken áthaladó mágneses fluxus tehát \(\displaystyle \Delta \Phi=B(x)nr^2\pi\Delta x\). A szolenoid teljes fluxusa:

\(\displaystyle \Phi=\sum \Delta \Phi=nr^2\pi\cdot\sum B(x)\Delta x.\)

A \(\displaystyle \sum B(x)\Delta x\) összeg (amely a szolenoid egészére terjed ki) kiegészíthető egy ,,visszafelé futó'', a körvezetőn kívül, attól távol záródó görbe menti összeggel, hiszen nagy távolságban a körvezető mágneses tere elhanyagolható. A zárt görbére számított ,,mágneses körfeszültség'' az Ampere-féle gerjesztési törvény szerint \(\displaystyle \mu_0\cdot I(t)\)-vel egyenlő, így a teljes fluxus változási sebessége, vagyis az indukált feszültség:

\(\displaystyle U=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\frac{\Delta I(t)}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\alpha.\)


Statistics:

10 students sent a solution.
5 points:Bokor Endre, Elek Péter, Fiam Regina, Olosz Adél, Sal Dávid, Vaszary Tamás.
3 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2019