Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5132. feladat (2019. május)

P. 5132. Gépkocsival útnak indulunk. Az autópálya elejére érve a gépjármű sebességét és az indulástól számított átlagsebességét mérő készülék kijelzőjén 37 km/h látható. Ettől kezdve a legnagyobb megengedett sebességgel (130 km/h) haladunk.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg, hogyan változik az átlagsebesség az idő függvényében! Milyen körülmények befolyásolják ezt a függvényt?

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva fogjuk azt látni, hogy az – egész értékre kerekített – átlagsebességünk 130 km/h?

Közli: Härtlein Károly, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha (órákban mérve) \(\displaystyle t_0\) ideig haladtunk 37 km/h átlagsebességgel, akkor \(\displaystyle 37\,t_0\) km-nyi utat tettünk meg az autópálya elejéig. Innen folyamatosan 130 km/h sebességgel haladunk, akkor \(\displaystyle t\) idő múlva az indulástól számított átlagsebességünk

\(\displaystyle \overline{v}(t,t_0)=\frac {37\,t_0+130\,t}{t_0+t}~\frac{\rm km}{\rm h}\)

lesz. Ez a függvény érzékenyen függ a \(\displaystyle t_0\) időtartamtól, tehát attól, hogy mennyi ideig haladtunk a városban viszonylag lassan, vélhetően csúcsforgalomban. A függvény grafikonja egy hiperbola, amely \(\displaystyle t=0\)-nál a 37 km/h értéket, aszimptotikusan (\(\displaystyle t\rightarrow\infty\)-re) pedig 130 km/h-hoz tart.

A műszer által mutatott (kerekített) érték akkor éri el a 130-at, amikor \(\displaystyle \overline{v}=129{,}5\) km/h, ami \(\displaystyle t=185\,t_0\)-nál következik be. Ha például \(\displaystyle t_0=5~\text{perc}=\tfrac1{12}\) óra, akkor a műszer szerint 15,4 óra múlva ,,felejthetjük el'' a kezdeti késésünket. Ha viszont \(\displaystyle t_0=1\) óra, akkor \(\displaystyle t=185\) óra hosszan, vagyis majdnem 8 napon keresztül kellene folyamatosan a megengedett legnagyobb sebességgel haladnunk ahhoz, hogy az átlagsebességünk (kerekítve) 130 km/h legyen. Ezt – különböző okok miatt – nyilván nem tehetjük meg.


Statisztika:

A P. 5132. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai