Problem P. 5132. (May 2019)

P. 5132. We set off on a journey by car. The meter, which shows the average speed of the car from the start of the journey, reads 37 km/h when we reach the motorway. From that time onward, we travel at the greatest allowed speed (130 km/h).

\(\displaystyle a)\) Determine how the average speed of the car changes as a function of time. What circumstances affect this function?

\(\displaystyle b)\) How much time elapses until the value of the average speed – rounded to the nearest integer – is going to be 130 km/h?

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha (órákban mérve) \(\displaystyle t_0\) ideig haladtunk 37 km/h átlagsebességgel, akkor \(\displaystyle 37\,t_0\) km-nyi utat tettünk meg az autópálya elejéig. Innen folyamatosan 130 km/h sebességgel haladunk, akkor \(\displaystyle t\) idő múlva az indulástól számított átlagsebességünk

\(\displaystyle \overline{v}(t,t_0)=\frac {37\,t_0+130\,t}{t_0+t}~\frac{\rm km}{\rm h}\)

lesz. Ez a függvény érzékenyen függ a \(\displaystyle t_0\) időtartamtól, tehát attól, hogy mennyi ideig haladtunk a városban viszonylag lassan, vélhetően csúcsforgalomban. A függvény grafikonja egy hiperbola, amely \(\displaystyle t=0\)-nál a 37 km/h értéket, aszimptotikusan (\(\displaystyle t\rightarrow\infty\)-re) pedig 130 km/h-hoz tart.

A műszer által mutatott (kerekített) érték akkor éri el a 130-at, amikor \(\displaystyle \overline{v}=129{,}5\) km/h, ami \(\displaystyle t=185\,t_0\)-nál következik be. Ha például \(\displaystyle t_0=5~\text{perc}=\tfrac1{12}\) óra, akkor a műszer szerint 15,4 óra múlva ,,felejthetjük el'' a kezdeti késésünket. Ha viszont \(\displaystyle t_0=1\) óra, akkor \(\displaystyle t=185\) óra hosszan, vagyis majdnem 8 napon keresztül kellene folyamatosan a megengedett legnagyobb sebességgel haladnunk ahhoz, hogy az átlagsebességünk (kerekítve) 130 km/h legyen. Ezt – különböző okok miatt – nyilván nem tehetjük meg.

Statistics:

35 students sent a solution.
4 points:	Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kalmár Dóra, Kardkovács Levente, Keltai Dóra, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Máth Benedek, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Pálfi Fanni, Sal Dávid, Selmi Bálint, Szoboszlai Szilveszter, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
3 points:	Hamar Dávid, Köpenczei Csanád, Merkl Gergely, Toronyi András.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2019