Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5134. feladat (2019. május)

P. 5134. Igen vékony, elhanyagolható tömegű, \(\displaystyle R= 0{,}64\) m hosszú rúd egyik vége vízszintes tengelyhez csatlakozik, a másik végén egy \(\displaystyle m=5\) g tömegű, \(\displaystyle Q=6\cdot10^{-7}\) C töltésű gömböcske van rögzítve. Az egész szerkezetet függőlegesen lefelé irányuló, \(\displaystyle E=2\cdot10^5\) V/m erősségű homogén elektromos térben helyezzük el. A rudat az ábra szerint vízszintes helyzetbe hozzuk.

\(\displaystyle a)\) Mekkora függőlegesen lefelé mutató \(\displaystyle v_0\) sebességet kell adnunk a gömböcskének, hogy miután a rúd \(\displaystyle 3/4\) fordulatot megtéve megakad, és egyben megszűnik a gömböcske rögzítése, további mozgása során visszakerüljön a kiindulási pontjába?

\(\displaystyle b)\) Mekkora szöget zár be a vízszintessel a sebessége, amikor áthalad ezen a ponton?

\(\displaystyle c)\) Mekkora a kiindulási helyre való érkezési és indulási sebességek nagyságának aránya?

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A gömböcskére függőlegesen lefelé ható,

\(\displaystyle F=mg+QE=m\left(g+\frac{QE}{m}\right)\)

nagyságú erő hat. Ez az erő olyan, mintha csak a nehézségi erő hatna, de a gravitációs gyorsulás nem a szokásos nagyságú, hanem

\(\displaystyle g'=g+\frac{QE}{m}= \left( {9,81}+\frac{(6\cdot10^{-7})(2\cdot10^{5})}{ 5\cdot10^{-3} } \right)\frac{\rm m}{\rm s^2}=33{,}8~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)

lenne.

\(\displaystyle a)\) Legyen a gömböcske sebessége a pályájának legmagasabb pontjánál \(\displaystyle v_1\). Ha visszajut a kiindulási helyére, a vízszintes hajítás összefüggései szerint fennáll, hogy

\(\displaystyle v_1t=R, \qquad \frac{g'}{2}t^2=R,\)

ezekből

\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{g'R}{2}}\)

következik. Másrészt a munkatétel szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-mg'R,\)

vagyis

\(\displaystyle v_0=\sqrt{v_1^2+2g'R}=\sqrt{\frac52g'R}=7{,}36~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle b)\) A kiindulási helyére visszaérkező test vízszintes sebessége \(\displaystyle v_1\), függőleges sebessége pedig \(\displaystyle R\) magasságból történő szabadesés sebessége, vagyis

\(\displaystyle v_2=\sqrt{2g'R}.\)

A test sebességvektora tehát

\(\displaystyle \arctg\frac{v_2}{v_1}=\arctg 2=63{,}4^\circ \)

nagyságú szöget zár be a vízszintessel.

\(\displaystyle c)\) A kiindulási helyre való visszaérkezéskor a sebesség nagysága:

\(\displaystyle v_3=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{\frac52g'R}=7{,}36~\frac{\rm m}{\rm s},\)

ami éppen \(\displaystyle v_0\)-lal egyezik meg. Ez az eredmény a munkatételből közvetlenül is leolvasható. A kérdezett arány tehát 1.


Statisztika:

A P. 5134. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai