Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5137. (May 2019)

P. 5137. The gasbag of an airship of volume \(\displaystyle 31\,900\) m\(\displaystyle {}^3\) is filled with hydrogen and is staying at rest in air. The values of the temperature and the pressure of the ambient dry air are the same as those of the hydrogen in the gasbag: the temperature is \(\displaystyle 20\;{}^\circ\)C and the pressure is 95.3 kPa.

\(\displaystyle a)\) Calculate the buoyant force of the air.

\(\displaystyle b)\) What would the value of the buoyant force be if the ambient air had 70% relative humidity, at the same pressure and at the same temperature?

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A száraz levegő sűrűsége a megadott hőmérsékleten és nyomáson:

\(\displaystyle \varrho_1=\frac{pM}{RT}=1{,}135~\frac{\rm kg}{\rm m^3},\)

\(\displaystyle M=29~\rm g/mol\) az átlagos móltömeg. Száraz levegőben a felhajtóerő a kiszorított levegő súlya:

\(\displaystyle F_1=\varrho_1 V g=355~\rm kN.\)

\(\displaystyle b)\) Táblázati adatok szerint a \(\displaystyle 20\,^\circ\)C hőmérsékletű telített vízgőz sűrűsége 0,017 \(\displaystyle \frac{\rm kg}{\rm m^3}\), nyomása pedig (ugyancsak táblázati adatok szerint, vagy a gáztörvényből 18 g/mol moláris tömeggel számolva) \(\displaystyle p_2=2{,}3~\)kPa.

Adott térfogatú, 70% relatív páratartalmú levegőben a vízgőz mennyisége (tömege, valamint a részecskeszáma) a telített állapoténak 0,7-szerese, így a a telítetlen gőz sűrűsége és (parciális) nyomása a telített gőz megfelelő adatainak 0,7-szerese:

\(\displaystyle \varrho_\text{gőz}=0{,}7\cdot 0{,}017~\frac{\rm kg}{\rm m^3} =0{,}012~\frac{\rm kg}{\rm m^3}; \qquad p_\text{gőz}=0{,}7\cdot 2{,}3~{\rm kPa}=1{,}6~{\rm kPa}.\)

A levegő (parciális) nyomása a száraz állapothoz képest lecsökken, hiszen a párás levegő össznyomása (a parciális nyomások összege) ugyanannyi marad, mint a száraz levegőben volt.

\(\displaystyle p_\text{levegő}=p_\text{teljes}-p_\text{gőz}=95{,}3~{\rm kPa}-1{,}6~{\rm kPa}=93{,}7~{\rm kPa}.\)

A nyomással arányosan lecsökken a levegő sűrűsége is:

\(\displaystyle \varrho_\text{levegő}=\frac{93{,}7}{95{,}3}~1{,}135~\frac{\rm kg}{\rm m^3}=1{,}116~\frac{\rm kg}{\rm m^3}.\)

A nedves, telítetlen (70% relatív páratartalmú) levegő sűrűsége tehát:

\(\displaystyle \varrho_\text{párás}=\varrho_\text{levegő}+\varrho_\text{gőz}=1{,}128\frac{\rm kg}{\rm m^3}.\)

Ilyen levegőben az ugyanakkora térfogatú léghajóra ható felhajtóerő:

\(\displaystyle F_2=\varrho_\text{párás} V g=349~\rm kN.\)

A felhajtóerő tehát a párás levegőben mintegy 6 kN-nal (kb. 600 kg-nyi teher súlyával) lecsökken. A csökkenés szemléletesen úgy is magyarázható, hogy változatlan nyomáson és hőmérsékleten a léghajó által kiszorított gázban a molekulák száma ugyanannyi, mint a száraz levegőben volt, de az átlagos móltömeg lecsökken, hiszen egy vízmolekula tömege kisebb, mint egy "levegőmolekula" tömege.


Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:Fonyi Máté Sándor, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Tiefenbeck Flórián, Viczián Anna.
3 points:Fiam Regina.
2 points:24 students.
1 point:4 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2019