Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5138. feladat (2019. május)

P. 5138. Víz lehűlését vizsgáljuk elhanyagolható hőkapacitású, egyforma edényekben. A víz kezdeti hőmérséklete mindegyik esetben \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C, a célérték \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C. A környezet hőmérséklete \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C, ami a mérések során nem változik.

\(\displaystyle (i)\) Elsőnek azt mérjük, hogy 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C hőmérsékletű víz \(\displaystyle t_0\) idő alatt hűl le \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ra.

\(\displaystyle (ii)\) Másodszor csak addig várunk, amíg a kiindulási 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C hőmérsékletű víz \(\displaystyle 50\;{}^\circ\)C-ra hűl le (ez \(\displaystyle t_1\) időt vesz igénybe), majd gyorsan kiöntünk belőle 1 litert, aminek a helyére 1 liter, \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet öntünk.

\(\displaystyle (iii)\) Ezután úgy ismételjük meg a mérést, hogy a kezdeti 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C-os vízből azonnal kimerünk 1 litert, aminek a helyére 1 liter \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet öntünk. Az így keletkezett 2 literes keverék \(\displaystyle t_2\) idő alatt éri el a kívánt \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ot.

\(\displaystyle (iv)\) Végezetül a kezdeti 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C-os vizet hagyjuk lehűlni \(\displaystyle 60\;{}^\circ\)C-ra, majd nagyon gyorsan 1 litert kiöntünk belőle, helyére 1 liter \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet juttatunk, és hagyjuk a keveréket \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ra hűlni. Ekkor a teljes hűlési idő \(\displaystyle t_3\).

Melyik a leglassabb és melyik a leggyorsabb hűtési módszer? Fejezzük ki \(\displaystyle t_0\) segítségével \(\displaystyle t_1\)-et, \(\displaystyle t_2\)-t és \(\displaystyle t_3\)-at! Feltételezhetjük, hogy egy test hőmérséklet-változásának üteme egyenesen arányos a test és a környezete közötti hőmérséklet-különbséggel, azaz alkalmazható a Newton-féle lehűlési törvény.

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük \(\displaystyle \Delta T\)-vel azt a (Celsius-fok egységekben mért) hőmérséklet-különbséget, amennyivel melegebb egy bizonyos test a környezeténél. A Newton-féle lehűlési törvény szerint a \(\displaystyle \Delta T(0)\) kezdeti hőmérséklet-különbséggel jellemezhető test hőmérsékletének a környezetétől való eltérése időben így változik:

\(\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,{\rm e}^{-\lambda t},\)

ahol \(\displaystyle \lambda\) a test hőkapacitásától, a felületének nagyságától és az ún. hőátadási tényezőtől függő állandó. Esetünkben \(\displaystyle \lambda\) mindegyik folyamatnál ugyanakkora.

A megadott négy esetben a következő egyenleteket írhatjuk fel:

\(\displaystyle (i)\)

\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_0}=10,\)

vagyis \(\displaystyle \lambda t_0=\ln (50/10)=1{,}609\).

\(\displaystyle (ii)\)

\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_1}=20,\)

vagyis \(\displaystyle \lambda t_1=\ln (50/20)=0{,}916\).

\(\displaystyle (iii)\) Az 1-1 liternyi 80 és 30 fokos víz összeöntésekor 2 liter 55 fokos vizet kapunk. Ennek hűlését a

\(\displaystyle 25\,{\rm e}^{-\lambda t_2}=10\)

egyenlet írja le, ahonnan \(\displaystyle \lambda t_2=\ln ({25}/{10})=0{,}916\).

\(\displaystyle (iv)\) Legyen az első hűlés ideje \(\displaystyle t^*\), a második pedig \(\displaystyle t_3-t^*\). Mivel a kétféle hőmérsékletű víz összeöntése után 45 fokos vizet kapunk, ami 15 fokkal melegebb a környezeténél, fennáll, hogy

\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t^*}=30, \quad\text{valamint}\quad 15\,{\rm e}^{-\lambda \left(t_3-t^*\right)}=10.\)

Innen kapjuk, hogy

\(\displaystyle \lambda t^*=\ln \frac{50}{30}, \qquad \lambda \left(t_3-t^*\right)=\ln \frac{15}{10},\)

ezek összegéből pedig

\(\displaystyle \lambda t_3=\ln \frac{50}{30}+\ln \frac{15}{10}=0{,}916.\)

Látható, hogy

\(\displaystyle t_1=t_2=t_3=\frac{0{,}916}{1{,}609}\,t_0=0{,}57\, t_0.\)

Azt az érdekes eredményt kaptuk, hogy a lehűlés ideje nem függ attól, hogy mikor keverjük össze a már részben kihűlt folyadék felét ugyanannyi, a környezet hőmérsékletével megegyező hőfokú vízzel; a célértéket ugyanolyan gyorsan érjük el.


Statisztika:

A P. 5138. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai