Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

Problem P. 5138. (May 2019)

P. 5138. The cooling of water is investigated in alike containers of negligible heat capacity. In each case the initial temperature of the sample of water is $\displaystyle 80\;{}^\circ$C, and the aimed final temperature is $\displaystyle 40\;{}^\circ$C. The temperature of the environment is $\displaystyle 30\;{}^\circ$C, which does not change during the measurements.

$\displaystyle (i)$ Firstly it was measured that 2 litres of water cooled from $\displaystyle 80\;{}^\circ$C to $\displaystyle 40\;{}^\circ$C in a time of $\displaystyle t_0$.

$\displaystyle (ii)$ Secondly, we waited only until the 2 litres of water initially having a temperature of $\displaystyle 80\;{}^\circ$C cooled to a temperature of $\displaystyle 50\;{}^\circ$C (which took a time of $\displaystyle t_1$). Then 1 litre of water was quickly poured out and was replaced with 1 litre of water at a temperature of $\displaystyle 30\;{}^\circ$C.

$\displaystyle (iii)$ Then the measurement was repeated such that 1 litre of the initial 2 litres of water at a temperature of $\displaystyle 80\;{}^\circ$C was poured out and immediately replaced by 1 litre water at a temperature of $\displaystyle 30\;{}^\circ$C. The mixture reached the temperature of $\displaystyle 40\;{}^\circ$C in a time of $\displaystyle t_2$.

$\displaystyle (iv)$ Finally the 2 litres water of initial temperature $\displaystyle 80\;{}^\circ$C, was left to cool to $\displaystyle 60\;{}^\circ$C, and then quickly 1 litre of water was poured out and replaced by 1 litre of water of temperature $\displaystyle 30\;{}^\circ$C, and then the mixture was left to cool to a temperature of $\displaystyle 40\;{}^\circ$C. The total time of cooling in this case was $\displaystyle t_3$.

Which is the quickest and which is the slowest way of cooling? Express the times of $\displaystyle t_1$, $\displaystyle t_2$ and $\displaystyle t_3$ in terms of $\displaystyle t_0$. It can be assumed that the rate of cooling of an object is proportional to the temperature difference between the object and the environment, that is Newton's law of cooling can be applied.

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük $\displaystyle \Delta T$-vel azt a (Celsius-fok egységekben mért) hőmérséklet-különbséget, amennyivel melegebb egy bizonyos test a környezeténél. A Newton-féle lehűlési törvény szerint a $\displaystyle \Delta T(0)$ kezdeti hőmérséklet-különbséggel jellemezhető test hőmérsékletének a környezetétől való eltérése időben így változik:

$\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,{\rm e}^{-\lambda t},$

ahol $\displaystyle \lambda$ a test hőkapacitásától, a felületének nagyságától és az ún. hőátadási tényezőtől függő állandó. Esetünkben $\displaystyle \lambda$ mindegyik folyamatnál ugyanakkora.

A megadott négy esetben a következő egyenleteket írhatjuk fel:

$\displaystyle (i)$

$\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_0}=10,$

vagyis $\displaystyle \lambda t_0=\ln (50/10)=1{,}609$.

$\displaystyle (ii)$

$\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_1}=20,$

vagyis $\displaystyle \lambda t_1=\ln (50/20)=0{,}916$.

$\displaystyle (iii)$ Az 1-1 liternyi 80 és 30 fokos víz összeöntésekor 2 liter 55 fokos vizet kapunk. Ennek hűlését a

$\displaystyle 25\,{\rm e}^{-\lambda t_2}=10$

egyenlet írja le, ahonnan $\displaystyle \lambda t_2=\ln ({25}/{10})=0{,}916$.

$\displaystyle (iv)$ Legyen az első hűlés ideje $\displaystyle t^*$, a második pedig $\displaystyle t_3-t^*$. Mivel a kétféle hőmérsékletű víz összeöntése után 45 fokos vizet kapunk, ami 15 fokkal melegebb a környezeténél, fennáll, hogy

$\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t^*}=30, \quad\text{valamint}\quad 15\,{\rm e}^{-\lambda \left(t_3-t^*\right)}=10.$

Innen kapjuk, hogy

$\displaystyle \lambda t^*=\ln \frac{50}{30}, \qquad \lambda \left(t_3-t^*\right)=\ln \frac{15}{10},$

ezek összegéből pedig

$\displaystyle \lambda t_3=\ln \frac{50}{30}+\ln \frac{15}{10}=0{,}916.$

Látható, hogy

$\displaystyle t_1=t_2=t_3=\frac{0{,}916}{1{,}609}\,t_0=0{,}57\, t_0.$

Azt az érdekes eredményt kaptuk, hogy a lehűlés ideje nem függ attól, hogy mikor keverjük össze a már részben kihűlt folyadék felét ugyanannyi, a környezet hőmérsékletével megegyező hőfokú vízzel; a célértéket ugyanolyan gyorsan érjük el.

Statistics:

 23 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Bukor Benedek, Duong Phan, Endrész Balázs, Fiam Regina, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Keltai Dóra, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Nagyváradi Dániel, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tiefenbeck Flórián, Vaszary Tamás. 4 points: Ludányi Levente, Viczián Anna. 3 points: 1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2019