Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem P. 5141. (May 2019)

P. 5141. The plates of a parallel-plate condenser shown in the figure are horizontal and they are at a distance of $\displaystyle d_0=4$ cm from each other. The condenser is in vacuum. An aluminium sheet of width $\displaystyle d_0/4$ is placed on the lower plate, and high voltage is connected to the condenser.

$\displaystyle a)$ What should the value of $\displaystyle U_0$ be in order that the sheet rise?

$\displaystyle b)$ At a given applied voltage of $\displaystyle U$ what is the width of the aluminium sheet that can rise from the lower plate of the condenser of plate distance $\displaystyle d_0$?

$\displaystyle c)$ Is there a voltage value at which the sheet surely rises, independently of the width of the sheet (provided that it is less than $\displaystyle d_0$)?

(Assume that the aluminium sheet remains horizontal all the time. The sides of the condenser plates are much greater than $\displaystyle d_0$, and wind effects are negligible.)

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle a)$ Az alumíniumlemez behelyezésekor a megosztás miatt olyan síkkondenzátor alakul ki, amelynél a lemeztávolság $\displaystyle d=\tfrac34 d_0$. Ismeretes, hogy a síkkondenzátor két lemeze közötti vonzóerő az

$\displaystyle F=\frac{\varepsilon_0 U_0^2 A}{2d^2}$

összefüggéssel számítható ki, ahol $\displaystyle A$ a fegyverzetek alapterülete. A $\displaystyle \varrho=2700~\rm kg/m^3$ sűrűségű alumíniumlemez súlya:

$\displaystyle G=\frac{d_0}{4}A\varrho g.$

A lemez akkor emelkedik fel, ha $\displaystyle F>G$, vagyis

$\displaystyle U_0>\frac{3}{4}d_0\sqrt{\frac{\varrho g d_0}{2\varepsilon_0}}\approx 232~\rm kV.$

$\displaystyle b)$ Helyezzünk bele most egy $\displaystyle xd_0$ vastagságú alumíniumlemezt a kondenzátorba ($\displaystyle 0<x<1$). A lemez megemelkedésének feltétele:

$\displaystyle \frac{\varepsilon_0 U^2}{2\varrho g d_0^3}> x(1-x)^2\equiv f(x).$

Az ábra $\displaystyle f(x)$ grafikonját és a megemelkedés feltételét mutatja. Adott (de nem túl nagy) $\displaystyle U$ esetén ez a feltétel akkor teljesül, ha $\displaystyle x<x_1$ vagy $\displaystyle x>x_2$, azaz az alumíniumlemez elég vékony (könnyű), vagy elég vastag, emiatt viszonylag közel kerül a felső kondenzátorlemezhez.

$\displaystyle c)$ Az $\displaystyle f(x)$ függvénynek $\displaystyle x=\tfrac13$-nál maximuma van, és a maximum értéke $\displaystyle \tfrac 4{27}$. Ezt differenciálszámítással, vagy a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség segítségével láthatjuk be:

$\displaystyle \sqrt[3]{2f(x)}=\sqrt[3]{(2x)(1-x)(1-x)}\le \frac{(2x)+(1-x)+(1-x)}{3}=\frac{2}{3},$

azaz

$\displaystyle f(x)\le \frac{4}{27}.$

(Az egyenlőség $\displaystyle 2x=1-x$, azaz $\displaystyle x=\tfrac13$-nál teljesül, itt lesz $\displaystyle f(x)$ maximuma.)

Amennyiben

$\displaystyle U>U_ \text{krit}=\frac{2}{3}d_0\sqrt{\frac{2\varrho g d_0}{3\varepsilon_0}}= 238~\rm kV,$

az adott lemeztávolságú kondenzátorban semmilyen vastag alumíniumlemez nem maradhat nyugalomban az alsó fegyverzeten.

### Statistics:

 18 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Bonifert Balázs, Elek Péter, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Viczián Anna. 4 points: Vaszary Tamás. 2 points: 4 students. 1 point: 4 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2019