Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5142. feladat (2019. május)

P. 5142. Egy \(\displaystyle M\) tömegű űreszköz \(\displaystyle r\) sugarú körpályán, állandó \(\displaystyle v_0\) nagyságú sebességgel kering a Nap körül, mozgását csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja. Az űreszközt a Földről arra utasítják, hogy indítson útjára egy teljesen fekete, gömb alakú szondát, amelynek tömege \(\displaystyle m\), sugara \(\displaystyle R\), anyagának sűrűsége pedig \(\displaystyle \varrho\). A kibocsátás után a szonda ugyanazon a pályán kering a Nap körül, mint a kibocsátó. Tegyük fel, hogy anyaga jó hővezető, így a gömb hőmérséklete pályára állása után állandó, \(\displaystyle T = 180\) K. A Nap sugárzását tekintsük egy \(\displaystyle T_\odot = 5778\) K hőmérsékletű abszolút fekete test sugárzásának! A Nap tömege \(\displaystyle M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\) kg, sugara \(\displaystyle R_\odot = 6{,}96\cdot 10^8\) m, luminozitása (összes sugárzási teljesítménye) pedig \(\displaystyle L_\odot = 3{,}83\cdot 10^{26}\) W.

\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg számszerűen az űreszköz és a szonda pályájának \(\displaystyle r\) sugarát csillagászati egységben kifejezve! \(\displaystyle 1~\mathrm{CSE} = 1{,}496\cdot 10^8\) km.

\(\displaystyle b)\) Számítsuk ki a gömbre eső fotonok által a szondára kifejtett erő \(\displaystyle F_\text{f}\) nagyságát! A választ \(\displaystyle r\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle L_\odot\) és \(\displaystyle c\) függvényében adjuk meg, ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.

\(\displaystyle c)\) Határozzuk meg a gömb \(\displaystyle v'\) sebességének nagyságát, ha mozgását csak a Nap gravitációs hatása és a sugárnyomás befolyásolja! A választ az \(\displaystyle r\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle L_\odot\), \(\displaystyle \varrho\), \(\displaystyle v_0\) és \(\displaystyle c\) mennyiségekkel kifejezve adjuk meg!

Azért, hogy a szonda az \(\displaystyle r\) sugarú körpályára kerülhessen, kicsit le kell lassítani. Ezt úgy érik el, hogy az űreszköz mozgásával ellentétes irányban, ahhoz képest \(\displaystyle \Delta v\) nagyságú sebességgel indítják. Az űreszköz a saját mozgásának stabilitása érdekében legfeljebb \(\displaystyle \Delta p_\text{max} = 1\; \mathrm{kg\;m\;s^{-1}}\) nagyságú impulzust adhat át a szondának.

\(\displaystyle d)\) Számítsuk ki numerikusan a gömb sugarának legnagyobb (\(\displaystyle R_\text{max}\)) értékét, amely mellett az űreszköz mozgása még stabil marad! Tegyük fel, hogy \(\displaystyle m \ll M\) és \(\displaystyle \Delta v = v_0 - v' \ll v_0\)! (Felhasználhatjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2\), ha \(\displaystyle |x| \ll 1\).) A hiányzó adatokra adjunk észszerű nagyságrendi becslést!

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia
csehországi válogatóversenyének feladata

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az abszolút fekete test által a teljes hullámhossztartományban időegységenként és felületegységenként a felület normálisának irányában kisugárzott energia a Stefan–Boltzmann-törvény szerint a hőmérséklet negyedik hatványával arányos, azaz

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle P_0 = \sigma T^4,\)

ahol \(\displaystyle \sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}~{\mathrm{W}\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-4}}\). Egységnyi idő alatt az \(\displaystyle R_\odot\) sugarú, feketetest-sugárzónak tekintett Nap teljes felszínén, a felszínre merőleges irányban kiáramló energia:

\(\displaystyle (2) \)\(\displaystyle L_\odot = 4R_\odot^2 \pi P_\odot = 4R_\odot^2 \pi \sigma T_\odot^4.\)

Ez az energia a Naptól \(\displaystyle r\) távolságban egy \(\displaystyle 4r^2 \pi\) felszínű gömbön oszlik el egyenletesen, így egységnyi idő alatt az \(\displaystyle r\) sugarú gömb egységnyi felületén, a felületre merőlegesen áthaladó energia:

\(\displaystyle (3) \)\(\displaystyle p_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2}.\)

Az elnyelt energia nagysága szempontjából nem számít, hogy a felület adott pontjában a sugárzás a felület normálisával mekkora szöget bezáró irányban érkezett, ezért a tökéletesen fekete, \(\displaystyle R\) sugarú, gömb alakú szonda ebből a szempontból \(\displaystyle R^2\pi\) nagyságú felületként (körlapként) tekinthető, így az általa másodpercenként elnyelt energia:

\(\displaystyle (4) \)\(\displaystyle a_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi.\)

A szonda azonban maga is bocsát ki sugárzást, mégpedig a teljes felületén. Tegyük fel, hogy a szonda is abszolút fekete testként sugároz, így a felületére merőleges irányban a szonda által másodpercenként kibocsátott teljes energia:

\(\displaystyle (5) \)\(\displaystyle e_0 = 4 R^2 \pi \sigma T^4.\)

Mivel a szonda hőmérséklete állandó, az elnyelt és a kibocsátott energiának meg kell egyeznie:

\(\displaystyle (6) \)\(\displaystyle a_0 = e_0, \text{ azaz }\sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi = 4 R^2 \pi \sigma T^4,\)

ebből pedig \(\displaystyle r\)-re a következő kifejezést kapjuk:

\(\displaystyle (7) \)\(\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \, R_\odot \left ( \dfrac{T_\odot}{T} \right )^2.\)

Számértékekkel:

\(\displaystyle (8) \)\(\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \cdot {6.96\cdot 10^8}~{\mathrm{km}} \cdot \left ( \dfrac{{5778}~{\mathrm{K}}}{{180}{\mathrm{K}}} \right )^2 = {3{,}59\cdot 10^{11}}~{\mathrm{m}} \approx {2{,}4}~{\mathrm{CSE}}.\)

A szonda tehát a Naptól \(\displaystyle {2{,}4}{\mathrm{CSE}}\) távolságban kering.

\(\displaystyle b)\) A Nap luminozitása \(\displaystyle L_\odot = {3{,}83\cdot 10^{26}}~{\mathrm{W}}\), azaz a Nap felszínén a teljes hullámhossztartományban másodpercenként \(\displaystyle \Delta E = {3{,}83\cdot10^{26}}~{\mathrm{J}}\) energia távozik. Ez az energia a Naptól \(\displaystyle r\) távolságban egy \(\displaystyle 4r^2\pi\) felületű gömb felszínén oszlik el egyenletesen.

A gömb alakú, \(\displaystyle R\) sugarú, tökéletesen fekete szonda a sugárzás által rá gyakorolt erőhatás szempontjából is úgy viselkedik, mint egy \(\displaystyle R\) sugarú, azaz \(\displaystyle R^2\pi\) felületű körlap, amelynek síkja merőleges a sugárzás irányára, így a szondára \(\displaystyle \Delta t = {1}{\mathrm{s}}\) alatt eső energia:

\(\displaystyle (9) \)\(\displaystyle P = L_\odot \, \dfrac{R^2 \pi}{4r^2\pi} = \dfrac{L_\odot}{4} \, \dfrac{R^2}{r^2}.\)

Mivel a szonda tökéletesen fekete, ezt az energiát teljes egészében elnyeli. Így a \(\displaystyle \Delta t = {1}~{\mathrm{s}}\) alatt a sugárzással együtt elnyelt impulzus:

\(\displaystyle (10) \)\(\displaystyle \Delta p = \dfrac{P \Delta t}{c}.\)

A szondára a sugárzás által gyakorolt erőhatás nagysága így:

\(\displaystyle (11) \label{eq:F_r} \)\(\displaystyle F_\text{r} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{L_\odot}{4 c} \, \dfrac{R^2}{r^2}.\)

\(\displaystyle c)\) Az \(\displaystyle m\) tömegű szondára a Nap gravitációs vonzása, illetve a sugárnyomásból származó, a gravitációs hatással éppen ellentétes irányú, kifelé mutató erő hat – a szonda által kibocsátott sugárzás a teljes felületen gömbszimmetrikusan távozik, ezért az ebből származó erő eredője nulla –, így a mozgásegyenlete:

\(\displaystyle (12) \)\(\displaystyle \dfrac{m v_\text{c}^{\prime 2}}{r} = F_\text{g} - F_\text{r} = G \, \dfrac{M_\odot m}{r^2} - \dfrac{L_\odot}{4c} \, \dfrac{R^2}{r^2} = \dfrac{m}{r} \left ( \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} \right ).\)

Ebből fejezzük ki \(\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}\)-t:

\(\displaystyle (13) \)\(\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr}.\)

Az űreszköz mozgását a feladat szövege szerint csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja, és mivel \(\displaystyle m \ll M\), tekinthetjük úgy, hogy a szonda kibocsátása után a tömege változatlan (\(\displaystyle M\)), így a mozgásegyenlete:

\(\displaystyle (14) \)\(\displaystyle \dfrac{M v_\text{c}^2}{r} = G \, \dfrac{M_\odot M}{r^2}.\)

Ebből fejezzük ki \(\displaystyle v_\text{c}^2\)-t:

\(\displaystyle (15) \)\(\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r}.\)

A \(\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}\)-re és a \(\displaystyle v_\text{c}^2\)-re vonatkozó egyenletekből, felhasználva a gömb alakú szonda sugara, sűrűsége és tömege közti összefüggést is:

\(\displaystyle (16) \)\(\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4 \, \dfrac{4\pi}{3} \, \varrho R^3 cr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr} = v_\text{c}^2 \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ),\)

azaz

\(\displaystyle (17) \)\(\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \label{eq:v_c_prime}.\)

\(\displaystyle d)\) Mivel \(\displaystyle m \ll M\), ezért a szonda kibocsátása során az űreszköz sebességének változása elhanyagolható. A szonda megengedett maximális impulzusváltozása:

\(\displaystyle (18) \)\(\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime).\)

A (17) egyenlet gyökös kifejezésében szereplő ismert mennyiségek (\(\displaystyle L_\odot\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle r\)) helyébe írjuk be azok értékeit, a nevezőben szereplő nem ismertekre pedig adjunk reális (alsó) becslést:

  • A szonda minden bizonnyal valamilyen fémötvözetből készült, így átlagos sűrűsége valószínűleg nagyobb a víz sűrűségénél: \(\displaystyle \varrho \geq {10^3}~{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}}\).
  • Sugara valószínűleg nagyobb \(\displaystyle {1}{\mathrm{cm}}\)-nél (ez a nemrégiben elhunyt Stephen Hawking által is támogatott Breakthrough Initiatives program \(\displaystyle \alpha\) Centauri felé indítandó nanoszondái méretének nagyságrendje): \(\displaystyle R \geq {0{,}01}{\mathrm{m}}\).
  • A III. Kepler-törvény szerint a Naptól \(\displaystyle {2.4}~{\mathrm{CSE}}\) távolságban a keringési idő mintegy \(\displaystyle {3{,}7}~{\text{év}}\), ez pedig \(\displaystyle v \approx {19}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}\) keringési sebességnek felel meg: \(\displaystyle v_\text{c} \approx {1{,}9}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}\).

A fenti értékekkel kiszámolhatjuk, hogy

\(\displaystyle (19) \)\(\displaystyle \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \approx 6\cdot 10^{-5},\)

tehát a gyökös kifejezés helyett használhatjuk a feladat szövegében megadott \(\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2\), ha \(\displaystyle |x| \ll 1\) közelítést:

\(\displaystyle (20) \)\(\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \approx v_\text{c} \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ) = v_\text{c} - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}} \rightarrow\)
\(\displaystyle (21) \)\(\displaystyle v_\text{c} - v_\text{c}^\prime = \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}}.\)

Ezt írjuk be az impulzusváltozás kifejezésébe:

\(\displaystyle (22) \)\(\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho \, \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho R_\text{m} r v_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}}.\)

Mivel

\(\displaystyle (23) \)\(\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r} \rightarrow v_\text{c} = \sqrt{\dfrac{GM_\odot}{r}} \rightarrow r v_\text{c} = \sqrt{GM_\odot r},\)

ezért

\(\displaystyle (24) \)\(\displaystyle \Delta p_\text{m} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}.\)

Ebből

\(\displaystyle (25) \)\(\displaystyle R_\text{m}^2 = \dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot} \rightarrow R_\text{m} = \sqrt{\dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot}} \label{eq:R_m}.\)

A számértékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle (26) \)\(\displaystyle R_\text{m} = {0{,}21}~{\mathrm{m}} = {21}~{\mathrm{cm}}.\)

A gömb alakú szonda sugara tehát legfeljebb \(\displaystyle {21}\,{\mathrm{cm}}\) lehet.


Statisztika:

A P. 5142. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai