Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem P. 5142. (May 2019)

P. 5142. A spacecraft of mass $\displaystyle M$ revolves around the Sun along a circular path of radius $\displaystyle r$, at a constant speed of $\displaystyle v_0$. Its motion is affected only by the gravity of the Sun. Scientists on Earth intend to launch an absolutely black and perfectly spherical probe from the spacecraft. The radius of the probe is $\displaystyle R$, its mass is $\displaystyle m$, and it is made of some unknown material of density $\displaystyle \varrho$. The sphere is intended to be put to a circular trajectory of radius $\displaystyle r$ (same as for the mother spacecraft) around the Sun. Assume that the sphere conducts heat sufficiently well so that it is able to maintain uniform temperature (which we denote by $\displaystyle T$) and that this temperature stabilises at $\displaystyle T = 180$ K after the launch. Assume that the Sun is a black body of temperature $\displaystyle T_\odot = 5778$ K, its mass is $\displaystyle M_\odot = 1.99\cdot 10^{30}$ kg, and its radius is $\displaystyle R_\odot = 6.96 \cdot 10^8$ m. The value of the solar luminosity to be used throughout this question is $\displaystyle L_\odot = 3.83\cdot 10^{26}$ W.

$\displaystyle a)$ Find the value of $\displaystyle r$ in astronomical units ($\displaystyle 1~\mathrm{AU} = 1.496 \cdot 10^8$ km).

$\displaystyle b)$ Using the conservation of linear momentum for photons incident on the sphere, find the magnitude of the force $\displaystyle F_r$, which is the force exerted on the sphere by the radiation. Write your answer in terms of $\displaystyle r$, $\displaystyle R$, $\displaystyle L_\odot$ and $\displaystyle c$, where $\displaystyle c$ is the speed of light in vacuum. The momentum $\displaystyle p$ of a single photon with energy $\displaystyle E$ can be expressed as $\displaystyle p = E/c$.

$\displaystyle c)$ Find the speed of the sphere $\displaystyle v'$ when the radius of its orbit is $\displaystyle r$. Write your answer in terms of $\displaystyle r$, $\displaystyle R$, $\displaystyle L_\odot$, $\displaystyle \varrho$, $\displaystyle v_0$ and $\displaystyle c$. You should assume that the motion of the sphere is affected only by the gravity of the Sun and the radiation pressure discussed in question $\displaystyle b)$. Notice that in order to maintain the sphere's circular orbit at radius $\displaystyle r$, we have to slow it down a little. This can be achieved be launching it opposite to the direction of spacecraft's motion at a speed $\displaystyle \Delta v$ relative to the spacecraft. Also, in order to avoid dangerous destabilisation of the spacecraft's motion, the maximum admissible impulse the spacecraft can impart on the sphere is $\displaystyle \Delta p_\text{max} = 1~\mathrm{kg\;m\;s^{-1}}$.

$\displaystyle d)$ Find (numerically) the maximum radius $\displaystyle R_\text{max}$ of the sphere, at which any dangerous destabilisations of the spacecraft during the launch can be avoided. Assume that $\displaystyle m \ll M$ and $\displaystyle \Delta v = v_0 - v' \ll v_0$. Use the approximation $\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2$, if $\displaystyle |x| \ll 1$. For the missing data give reasonable estimations.

(6 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle a)$ Az abszolút fekete test által a teljes hullámhossztartományban időegységenként és felületegységenként a felület normálisának irányában kisugárzott energia a Stefan–Boltzmann-törvény szerint a hőmérséklet negyedik hatványával arányos, azaz

 $\displaystyle (1)$ $\displaystyle P_0 = \sigma T^4,$

ahol $\displaystyle \sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}~{\mathrm{W}\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-4}}$. Egységnyi idő alatt az $\displaystyle R_\odot$ sugarú, feketetest-sugárzónak tekintett Nap teljes felszínén, a felszínre merőleges irányban kiáramló energia:

 $\displaystyle (2)$ $\displaystyle L_\odot = 4R_\odot^2 \pi P_\odot = 4R_\odot^2 \pi \sigma T_\odot^4.$

Ez az energia a Naptól $\displaystyle r$ távolságban egy $\displaystyle 4r^2 \pi$ felszínű gömbön oszlik el egyenletesen, így egységnyi idő alatt az $\displaystyle r$ sugarú gömb egységnyi felületén, a felületre merőlegesen áthaladó energia:

 $\displaystyle (3)$ $\displaystyle p_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2}.$

Az elnyelt energia nagysága szempontjából nem számít, hogy a felület adott pontjában a sugárzás a felület normálisával mekkora szöget bezáró irányban érkezett, ezért a tökéletesen fekete, $\displaystyle R$ sugarú, gömb alakú szonda ebből a szempontból $\displaystyle R^2\pi$ nagyságú felületként (körlapként) tekinthető, így az általa másodpercenként elnyelt energia:

 $\displaystyle (4)$ $\displaystyle a_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi.$

A szonda azonban maga is bocsát ki sugárzást, mégpedig a teljes felületén. Tegyük fel, hogy a szonda is abszolút fekete testként sugároz, így a felületére merőleges irányban a szonda által másodpercenként kibocsátott teljes energia:

 $\displaystyle (5)$ $\displaystyle e_0 = 4 R^2 \pi \sigma T^4.$

Mivel a szonda hőmérséklete állandó, az elnyelt és a kibocsátott energiának meg kell egyeznie:

 $\displaystyle (6)$ $\displaystyle a_0 = e_0, \text{ azaz }\sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi = 4 R^2 \pi \sigma T^4,$

ebből pedig $\displaystyle r$-re a következő kifejezést kapjuk:

 $\displaystyle (7)$ $\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \, R_\odot \left ( \dfrac{T_\odot}{T} \right )^2.$

Számértékekkel:

 $\displaystyle (8)$ $\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \cdot {6.96\cdot 10^8}~{\mathrm{km}} \cdot \left ( \dfrac{{5778}~{\mathrm{K}}}{{180}{\mathrm{K}}} \right )^2 = {3{,}59\cdot 10^{11}}~{\mathrm{m}} \approx {2{,}4}~{\mathrm{CSE}}.$

A szonda tehát a Naptól $\displaystyle {2{,}4}{\mathrm{CSE}}$ távolságban kering.

$\displaystyle b)$ A Nap luminozitása $\displaystyle L_\odot = {3{,}83\cdot 10^{26}}~{\mathrm{W}}$, azaz a Nap felszínén a teljes hullámhossztartományban másodpercenként $\displaystyle \Delta E = {3{,}83\cdot10^{26}}~{\mathrm{J}}$ energia távozik. Ez az energia a Naptól $\displaystyle r$ távolságban egy $\displaystyle 4r^2\pi$ felületű gömb felszínén oszlik el egyenletesen.

A gömb alakú, $\displaystyle R$ sugarú, tökéletesen fekete szonda a sugárzás által rá gyakorolt erőhatás szempontjából is úgy viselkedik, mint egy $\displaystyle R$ sugarú, azaz $\displaystyle R^2\pi$ felületű körlap, amelynek síkja merőleges a sugárzás irányára, így a szondára $\displaystyle \Delta t = {1}{\mathrm{s}}$ alatt eső energia:

 $\displaystyle (9)$ $\displaystyle P = L_\odot \, \dfrac{R^2 \pi}{4r^2\pi} = \dfrac{L_\odot}{4} \, \dfrac{R^2}{r^2}.$

Mivel a szonda tökéletesen fekete, ezt az energiát teljes egészében elnyeli. Így a $\displaystyle \Delta t = {1}~{\mathrm{s}}$ alatt a sugárzással együtt elnyelt impulzus:

 $\displaystyle (10)$ $\displaystyle \Delta p = \dfrac{P \Delta t}{c}.$

A szondára a sugárzás által gyakorolt erőhatás nagysága így:

 $\displaystyle (11) \label{eq:F_r}$ $\displaystyle F_\text{r} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{L_\odot}{4 c} \, \dfrac{R^2}{r^2}.$

$\displaystyle c)$ Az $\displaystyle m$ tömegű szondára a Nap gravitációs vonzása, illetve a sugárnyomásból származó, a gravitációs hatással éppen ellentétes irányú, kifelé mutató erő hat – a szonda által kibocsátott sugárzás a teljes felületen gömbszimmetrikusan távozik, ezért az ebből származó erő eredője nulla –, így a mozgásegyenlete:

 $\displaystyle (12)$ $\displaystyle \dfrac{m v_\text{c}^{\prime 2}}{r} = F_\text{g} - F_\text{r} = G \, \dfrac{M_\odot m}{r^2} - \dfrac{L_\odot}{4c} \, \dfrac{R^2}{r^2} = \dfrac{m}{r} \left ( \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} \right ).$

Ebből fejezzük ki $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}$-t:

 $\displaystyle (13)$ $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr}.$

Az űreszköz mozgását a feladat szövege szerint csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja, és mivel $\displaystyle m \ll M$, tekinthetjük úgy, hogy a szonda kibocsátása után a tömege változatlan ($\displaystyle M$), így a mozgásegyenlete:

 $\displaystyle (14)$ $\displaystyle \dfrac{M v_\text{c}^2}{r} = G \, \dfrac{M_\odot M}{r^2}.$

Ebből fejezzük ki $\displaystyle v_\text{c}^2$-t:

 $\displaystyle (15)$ $\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r}.$

A $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}$-re és a $\displaystyle v_\text{c}^2$-re vonatkozó egyenletekből, felhasználva a gömb alakú szonda sugara, sűrűsége és tömege közti összefüggést is:

 $\displaystyle (16)$ $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4 \, \dfrac{4\pi}{3} \, \varrho R^3 cr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr} = v_\text{c}^2 \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ),$

azaz

 $\displaystyle (17)$ $\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \label{eq:v_c_prime}.$

$\displaystyle d)$ Mivel $\displaystyle m \ll M$, ezért a szonda kibocsátása során az űreszköz sebességének változása elhanyagolható. A szonda megengedett maximális impulzusváltozása:

 $\displaystyle (18)$ $\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime).$

A (17) egyenlet gyökös kifejezésében szereplő ismert mennyiségek ($\displaystyle L_\odot$, $\displaystyle c$, $\displaystyle r$) helyébe írjuk be azok értékeit, a nevezőben szereplő nem ismertekre pedig adjunk reális (alsó) becslést:

• A szonda minden bizonnyal valamilyen fémötvözetből készült, így átlagos sűrűsége valószínűleg nagyobb a víz sűrűségénél: $\displaystyle \varrho \geq {10^3}~{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}}$.
• Sugara valószínűleg nagyobb $\displaystyle {1}{\mathrm{cm}}$-nél (ez a nemrégiben elhunyt Stephen Hawking által is támogatott Breakthrough Initiatives program $\displaystyle \alpha$ Centauri felé indítandó nanoszondái méretének nagyságrendje): $\displaystyle R \geq {0{,}01}{\mathrm{m}}$.
• A III. Kepler-törvény szerint a Naptól $\displaystyle {2.4}~{\mathrm{CSE}}$ távolságban a keringési idő mintegy $\displaystyle {3{,}7}~{\text{év}}$, ez pedig $\displaystyle v \approx {19}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}$ keringési sebességnek felel meg: $\displaystyle v_\text{c} \approx {1{,}9}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}$.

A fenti értékekkel kiszámolhatjuk, hogy

 $\displaystyle (19)$ $\displaystyle \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \approx 6\cdot 10^{-5},$

tehát a gyökös kifejezés helyett használhatjuk a feladat szövegében megadott $\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2$, ha $\displaystyle |x| \ll 1$ közelítést:

 $\displaystyle (20)$ $\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \approx v_\text{c} \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ) = v_\text{c} - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}} \rightarrow$
 $\displaystyle (21)$ $\displaystyle v_\text{c} - v_\text{c}^\prime = \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}}.$

Ezt írjuk be az impulzusváltozás kifejezésébe:

 $\displaystyle (22)$ $\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho \, \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho R_\text{m} r v_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}}.$

Mivel

 $\displaystyle (23)$ $\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r} \rightarrow v_\text{c} = \sqrt{\dfrac{GM_\odot}{r}} \rightarrow r v_\text{c} = \sqrt{GM_\odot r},$

ezért

 $\displaystyle (24)$ $\displaystyle \Delta p_\text{m} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}.$

Ebből

 $\displaystyle (25)$ $\displaystyle R_\text{m}^2 = \dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot} \rightarrow R_\text{m} = \sqrt{\dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot}} \label{eq:R_m}.$

A számértékeket behelyettesítve:

 $\displaystyle (26)$ $\displaystyle R_\text{m} = {0{,}21}~{\mathrm{m}} = {21}~{\mathrm{cm}}.$

A gömb alakú szonda sugara tehát legfeljebb $\displaystyle {21}\,{\mathrm{cm}}$ lehet.

### Statistics:

 12 students sent a solution. 6 points: Bokor Endre, Elek Péter, Kozák 023 Áron, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Tiefenbeck Flórián. 5 points: Ludányi Levente. 4 points: 1 student. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2019