Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5148. feladat (2019. szeptember)

P. 5148. Egy 1 méter hosszúságú, hengeres tartályban levegő van bezárva. A tartályt a vízszintes hossztengelye irányában állandó gyorsulással mozgatjuk, miközben a bezárt levegő hőmérsékletét mindvégig állandó, \(\displaystyle T=273\) K értéken tartjuk. Mekkora \(\displaystyle a_0\) gyorsulásnál lenne a tartály elején a levegő nyomása

\(\displaystyle a)\) 0,1%-kal kisebb,

\(\displaystyle b)\) fele akkora,

mint a tartály hátulján?

Útmutatás: ha a hőmérséklet állandó lenne, a földi légkör sűrűsége a barometrikus magasságformula szerint változna: \(\displaystyle \varrho(h)= \varrho_0{\rm e}^{-\frac{Mgh}{RT}}\), ahol \(\displaystyle M\) a levegő átlagos móltömege.

Közli: Vass Miklós, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Állandó hőmérséklet mellett a levegő sűrűsége és a nyomása arányos egymással. Ezek szerint a tartály elején gyakorlatilag ugyanakkora a levegő sűrűsége, mint a hátuljánál, vagyis a sűrűség jó közelítéssel homogénnek tekinthető. A gáztörvény szerint ez a sűrűség

\(\displaystyle \varrho_0 =\frac{p_0M}{RT},\)

ahol \(\displaystyle p_0\) a levegő átlagos nyomása. (Ezt az adatot nem ismerjük.)

Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetű tartályban lévő gáz tömege

\(\displaystyle m=\varrho_0 A\cdot(1~{\rm m})=\frac{p_0 MA}{RT}\cdot (1~{\rm m}).\)

Ezt a gázmennyiséget a tartály elején és a hátulján ható erők különbsége gyorsítja:

\(\displaystyle ma_0= \frac{p_0 M A a_0}{R T}\cdot(1~{\rm m})=\Delta p\cdot A=10^{-3}\,p_0 A.\)

Az ismeretlen nagyságú \(\displaystyle A\)-val és \(\displaystyle p_0\)-lal egyszerűsítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle a_0=10^{-3}\frac{RT}{M\cdot (1~\rm m)}=78\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 8\,g.\)

\(\displaystyle b)\) Most a nyomás (és ezzel arányosan a sűrűség) lényegesen változik a tartályban, tehát a tömeget nem számolhatjuk egy állandó (helyfüggetlen) sűrűség segítségével. Alkalmazható viszont a barometrikus magasságformula, mert a tartállyal együtt mozgó (gyorsuló) koordináta-rendszerben a levegő ,,úgy érzi'', mintha a függőleges \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás mellett még egy vízszintes irányú, \(\displaystyle -a_0\) nagyságú nehézségi gyorsulású gravitációs mező is megjelenne. Ennek hatására a nyomás vízszintes irányban így változik:

\(\displaystyle p_2=p_1 {\rm e}^{-\frac{Ma_0\,(1~\rm m)}{RT}}=\frac{1}{2}p_1, \)

ahonnan a kérdéses gyorsulás:

\(\displaystyle a_0=\ln 2\,\frac{RT}{M\cdot(1~\rm m)}\approx 54\,000~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 5400\,g.\)

Ilyen nagy gyorsulással méteres nagyságú testeket egyenes vonalban huzamosabb ideig mozgatni lehetetlen, tehát azt állíthatjuk, hogy ekkora nyomáskülönbséget a tartály gyorsításával létrehozni nem lehet.


Statisztika:

A P. 5148. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi fizika feladatai