Problem P. 5148. (September 2019)
P. 5148. There is some air in a 1-metre long horizontal cylinder-shaped container. The container is moved horizontally parallel to its symmetry axis at a constant acceleration, whilst the temperature of the inside air is kept at a constant value of \(\displaystyle T=273\) K. At what acceleration \(\displaystyle a_0\) would the pressure of the air at the front of the container be
\(\displaystyle a)\) 0.1% smaller than that at the back of the container;
\(\displaystyle b)\) half of the value of pressure at the back of the container?
Hint: if the temperature is constant, the density of air in the atmosphere of the Earth would change according to the barometric formula: \(\displaystyle \varrho(h)= \varrho_0{\rm e}^{-\frac{Mgh}{RT}}\), where \(\displaystyle M\) is the average molar mass of air.
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Állandó hőmérséklet mellett a levegő sűrűsége és a nyomása arányos egymással. Ezek szerint a tartály elején gyakorlatilag ugyanakkora a levegő sűrűsége, mint a hátuljánál, vagyis a sűrűség jó közelítéssel homogénnek tekinthető. A gáztörvény szerint ez a sűrűség
\(\displaystyle \varrho_0 =\frac{p_0M}{RT},\)
ahol \(\displaystyle p_0\) a levegő átlagos nyomása. (Ezt az adatot nem ismerjük.)
Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetű tartályban lévő gáz tömege
\(\displaystyle m=\varrho_0 A\cdot(1~{\rm m})=\frac{p_0 MA}{RT}\cdot (1~{\rm m}).\)
Ezt a gázmennyiséget a tartály elején és a hátulján ható erők különbsége gyorsítja:
\(\displaystyle ma_0= \frac{p_0 M A a_0}{R T}\cdot(1~{\rm m})=\Delta p\cdot A=10^{-3}\,p_0 A.\)
Az ismeretlen nagyságú \(\displaystyle A\)-val és \(\displaystyle p_0\)-lal egyszerűsítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle a_0=10^{-3}\frac{RT}{M\cdot (1~\rm m)}=78\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 8\,g.\)
\(\displaystyle b)\) Most a nyomás (és ezzel arányosan a sűrűség) lényegesen változik a tartályban, tehát a tömeget nem számolhatjuk egy állandó (helyfüggetlen) sűrűség segítségével. Alkalmazható viszont a barometrikus magasságformula, mert a tartállyal együtt mozgó (gyorsuló) koordináta-rendszerben a levegő ,,úgy érzi'', mintha a függőleges \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás mellett még egy vízszintes irányú, \(\displaystyle -a_0\) nagyságú nehézségi gyorsulású gravitációs mező is megjelenne. Ennek hatására a nyomás vízszintes irányban így változik:
\(\displaystyle p_2=p_1 {\rm e}^{-\frac{Ma_0\,(1~\rm m)}{RT}}=\frac{1}{2}p_1, \)
ahonnan a kérdéses gyorsulás:
\(\displaystyle a_0=\ln 2\,\frac{RT}{M\cdot(1~\rm m)}\approx 54\,000~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 5400\,g.\)
Ilyen nagy gyorsulással méteres nagyságú testeket egyenes vonalban huzamosabb ideig mozgatni lehetetlen, tehát azt állíthatjuk, hogy ekkora nyomáskülönbséget a tartály gyorsításával létrehozni nem lehet.
Statistics:
39 students sent a solution. 5 points: Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Perényi Barnabás, Rusvai Miklós, Sas 202 Mór, Schneider Anna, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Takács Árpád, Takács Dóra, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence. 4 points: Baki Bence István, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Szász Levente, Tanács Kristóf, Tóth Ábel, Török 111 László, Viczián Anna. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, September 2019