Problem P. 5149. (September 2019)

P. 5149. A physics teacher gives a short test to two groups of students. The problem given to one of the groups is the following: ''What is the angle of incidence of a thin light ray which enters into a spherical water drop and is reflected such that its path inside the drop is an equilateral triangle?'' The other group is given nearly the same problem but in their case the path of the light ray in the spherical drop is a square. Can the teacher give the same problem with a regular pentagon-shaped path in the drop as a make-up test question for the missing students? Determine the angle of incidence in each case. (The refractive index of water is \(\displaystyle \frac43\).)

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tételezzük fel, hogy a fénysugár a vízcseppben szabályos \(\displaystyle N\)-szög mentén halad körbe. (Természetesen minden visszaverődési pontnál a fény egy része megtörve kilép a vízcseppből.) Az ábrán látható jelölésekkel a törési törvény szerint

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{4}{3}\sin\beta.\)

Másrészt igaz, hogy \(\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{N},\) tehát a törési törvény így írható:

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\frac{180^\circ}{N}.\)

Nyilván teljesül, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha\le 1, \qquad \text{azaz} \qquad \cos\frac{180^\circ}{N}\le \frac{3}{4}, \qquad \text{vagyis} \qquad \frac{180^\circ}{N}\ge 41{,}4^\circ,\quad N\le 4{,}3.\)

Ezek szerint a 2-nél nagyobb egészek közül csak \(\displaystyle N=3\) és \(\displaystyle N=4\)-re adható fel a feladat, és ezeknél a megfelelő beesési szögek: \(\displaystyle \alpha_3=41{,}8^\circ\) és \(\displaystyle \alpha_4=70{,}5^\circ\).

Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Balogh Dávid, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Csécsi Marcell, Dékány Csaba, Endrész Balázs, Fekete Levente, Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kozaróczy Csaba, Ludányi Levente, Nagyváradi Dániel, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Rácz Tamás Gáspár, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Surányi Balázs, Szabados Noémi, Szász Levente, Szikora 417 Viktor, Takács Árpád, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Vass Bence.
3 points:	Juhász Katalin, Kozák 023 Áron, Laposa Hédi, Pálfi Fanni.
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, September 2019