Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5153. feladat (2019. szeptember)

P. 5153. Két egyforma, homogén rúd egy-egy végpontja csuklósan kapcsolódik egymáshoz. A rudak vízszintes, súrlódásmentes asztallapon egy egyenes mentén nyugszanak. Az egyik rúd szabad végére a rúdra merőleges irányban hirtelen ráütünk, mire az a pont 1 m/s sebességgel kezd el mozogni. Milyen irányban és mekkora sebességgel indul el a másik rúd szabad végpontja?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük egy-egy rúd hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, tömegét \(\displaystyle m\)-mel; a tömegközéppontjukra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékuk ekkor \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{12}m \ell^2.\)

Ha a bal oldali rúd bal oldali végére egy hirtelen \(\displaystyle p_1=F\Delta t\) erőlökést fejtünk ki, a rudak haladó és forgó mozgásba jönnek, tömegközéppontjuk valamekkora \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) sebességgel kezd el mozogni (a rudakra merőleges irányban), a tömegközéppontjuk körül pedig \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) szögsebességre tesznek szert az ábrán látható irányításokkal.

A két rúd közötti csukló is kifejt valamekkora, \(\displaystyle p_2\) erőlökést, amelynek iránya ugyancsak merőleges a rudakra. (Ha az egymással ellentétes irányú erőlökéseknek lenne rúdirányú összetevője, akkor a rudak hirtelen egymás felé, vagy egymástól eltávolodva kezdenének el mozogni, ez pedig a csuklós kapcsolat miatt nem lehetséges.)

Írjuk fel a rudak tömegközépponti mozgására, illetve a forgómozgásukra vonatkozó Newton-egyenleteket!

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle p_1+p_2=mv_1,\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle p_2=mv_2,\)
\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \left(p_1-p_2\right) \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_1,\)
\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle p_2 \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_2.\)

Tudjuk továbbá, hogy a meglökött rúdvég sebessége

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle v_0=v_1+ \frac{\ell}{2}\omega_1,\)

a csuklósan összekapcsolt rúdvégek sebessége pedig megegyezik:

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle \frac{\ell}{2}\omega_1 -v_1= v_2+\frac{\ell}{2}\omega_2.\)

A keresett sebesség (a jobb oldali rúd jobb oldali végpontjának sebessége):

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v^*=\frac{\ell}{2}\omega_2-v_2.\)

Az (1)-(6) egyenletrendszer megoldása:

\(\displaystyle p_1=\frac{2}{7}mv_0,\qquad p_2=\frac{1}{14}mv_0,\)

\(\displaystyle v_1=\frac{5}{14}v_0,\qquad v_2=\frac{1}{14}v_0,\qquad \omega_1=\frac{9}{7}\,\frac{v_0}{\ell}, \qquad \omega_2=\frac{3}{7}\,\frac{v_0}{\ell},\)

és végül (7)-nek megfelelően

\(\displaystyle v^*=\frac{v_0}7.\)

A jobb oldali rúd szabad vége tehát ,,előrefele'' (a külső erőlökéssel megegyező irányban) \(\displaystyle \frac{1}{7}\,\frac{\rm m}{\rm s}\) kezdősebességgel kezd el mozogni.


Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bokor Endre.
5 pontot kapott:Ludvig Emese Ágota.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi fizika feladatai