Problem P. 5153. (September 2019)
P. 5153. Two alike uniform rods are attached to each other with a pivot joint at their ends. The rods are at rest on a frictionless horizontal tabletop, lying along a straight line. Suddenly the free end of one of the rods is hit perpendicularly to the rod such that the endpoint of the rod begins to move at a speed of 1 m/s. Into what direction and at what speed does the free end of the other rod begin to move?
(6 pont)
Deadline expired on October 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük egy-egy rúd hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, tömegét \(\displaystyle m\)-mel; a tömegközéppontjukra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékuk ekkor \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{12}m \ell^2.\)
Ha a bal oldali rúd bal oldali végére egy hirtelen \(\displaystyle p_1=F\Delta t\) erőlökést fejtünk ki, a rudak haladó és forgó mozgásba jönnek, tömegközéppontjuk valamekkora \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) sebességgel kezd el mozogni (a rudakra merőleges irányban), a tömegközéppontjuk körül pedig \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) szögsebességre tesznek szert az ábrán látható irányításokkal.
A két rúd közötti csukló is kifejt valamekkora, \(\displaystyle p_2\) erőlökést, amelynek iránya ugyancsak merőleges a rudakra. (Ha az egymással ellentétes irányú erőlökéseknek lenne rúdirányú összetevője, akkor a rudak hirtelen egymás felé, vagy egymástól eltávolodva kezdenének el mozogni, ez pedig a csuklós kapcsolat miatt nem lehetséges.)
Írjuk fel a rudak tömegközépponti mozgására, illetve a forgómozgásukra vonatkozó Newton-egyenleteket!
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle p_1+p_2=mv_1,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle p_2=mv_2,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \left(p_1-p_2\right) \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_1,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle p_2 \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_2.\) |
Tudjuk továbbá, hogy a meglökött rúdvég sebessége
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle v_0=v_1+ \frac{\ell}{2}\omega_1,\) |
a csuklósan összekapcsolt rúdvégek sebessége pedig megegyezik:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \frac{\ell}{2}\omega_1 -v_1= v_2+\frac{\ell}{2}\omega_2.\) |
A keresett sebesség (a jobb oldali rúd jobb oldali végpontjának sebessége):
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle v^*=\frac{\ell}{2}\omega_2-v_2.\) |
Az (1)-(6) egyenletrendszer megoldása:
\(\displaystyle p_1=\frac{2}{7}mv_0,\qquad p_2=\frac{1}{14}mv_0,\)
\(\displaystyle v_1=\frac{5}{14}v_0,\qquad v_2=\frac{1}{14}v_0,\qquad \omega_1=\frac{9}{7}\,\frac{v_0}{\ell}, \qquad \omega_2=\frac{3}{7}\,\frac{v_0}{\ell},\)
és végül (7)-nek megfelelően
\(\displaystyle v^*=\frac{v_0}7.\)
A jobb oldali rúd szabad vége tehát ,,előrefele'' (a külső erőlökéssel megegyező irányban) \(\displaystyle \frac{1}{7}\,\frac{\rm m}{\rm s}\) kezdősebességgel kezd el mozogni.
Statistics:
5 students sent a solution. 6 points: Bokor Endre. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, September 2019