Problem P. 5160. (October 2019)
P. 5160. The charge on a metal sphere of diameter \(\displaystyle d=2\) cm, mounted on a fixed insulating stand, is \(\displaystyle Q=8\cdot10^{-9}\) C. Another, but a neutral metal sphere of mass \(\displaystyle m=1\) g and of the same size as the previously described one, is attached to a thin insulating piece of thread of length \(\displaystyle \ell=1\) m as shown in the figure. The thread is displaced by an angle of \(\displaystyle \alpha=60^\circ\), and then it is released. The two spheres collide head on, totally elastically. The energy of the electric field does not change in the course of the collision, there is no energy dissipation. How much higher above its initial position will the sphere on the thread go if air drag is also negligible?
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, önmagában álló fémgömb kapacitása \(\displaystyle C=4\pi\varepsilon_0 R\). Ha ennek a gömbnek \(\displaystyle Q\) töltése van, akkor az elektrosztatikus terének energiája
\(\displaystyle W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}. \)
Ha olyan két töltött fémgömb esetét vizsgáljuk, amelyek az átmérőjükhöz viszonyítva elég távol vannak egymástól, akkor az egymáshoz viszonyított kapacitása (,,főkapacitása'') elhanyagolhatóan kicsi a szórt kapacitásukhoz képest, és ebben a közelítésben a rendszer elektrosztatikus energiája (lásd az idézett cikket!)
\(\displaystyle W=\frac{Q_1^2}{8\pi\varepsilon_0R_1}+\frac{Q_2^2}{8\pi\varepsilon_0R_2},\)
ahol \(\displaystyle R_1=R_2=d/2\).
Esetünkben a kezdőállapotban \(\displaystyle Q_1=0\) és \(\displaystyle Q_2=Q\), az ütközés után pedig (a szimmetria és a töltésmegmaradás miatt) \(\displaystyle Q_1=Q_2=\tfrac12Q\). Az ütközés után, amikor már ismét elég messze került a két gömb egymástól, a kapacitásuk megint elhanyagolhatóan kicsivé válik, és az energiájuk a szórt kapacitásukból számolható ki. (Közvetlenül az ütközés előtt és után az elektromos megosztás igen erős, emiatt az energia ezekben az állapotokban csak igen bonyolult módon számítható; erre azonban – szerencsére – nincs szükségünk.)
A rendszer elektrosztatikus energiájának megváltozása a fonálinga indítása és ismételt megállása között
\(\displaystyle \Delta W=\frac{\left(\frac{1}{2}Q\right)^2}{4\pi\varepsilon_0 d}+\frac{\left(\frac{1}{2}Q\right)^2}{4\pi\varepsilon_0 d} - \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}=-\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 d}<0.\)
A rendszer összes (elektrosztatikus+gravitációs helyzeti) energiája a folyamat során nem változik (a mozgási energia mind a kezdeti, mind pedig a végállapotban nulla), így a fonálinga kis gömbje a kiindulási helyzetéhez viszonyítva
\(\displaystyle \Delta h=\frac{\vert\Delta W\vert}{mg}= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0mg d}=1{,}5~\rm mm \)
távolsággal kerül magasabbra. (Az eredmény nem függ az inga \(\displaystyle \ell\) hosszától.)
Megjegyzés. A megoldás során kihasználtuk, hogy a gömbök érintkezésekor, amikor a töltés fele átáramlik a másik gömbre, nincs energiaveszteség, mert a megosztás miatt a két gömb összeütközésekor már nullára csökkent közöttük a feszültség.
Más a helyzet akkor, amikor egy töltött és egy töltetlen síkkondenzátort kapcsolunk páruzamosan (lemezeiket páronként összeérintjük). Ekkor a kondenzátorok összenergiája lecsökken, az energiaváltozás a hirtelen kisüléskor keletkező szikrázás energiáját, a vezetékekben fejlődő Joule-hőt és elektromágneses sugárzás által elvitt energiát fedezi.
Ha a kondenzátorokat ,,kiméletesen'' érintjük össze, olymódon, hogy előbb a lemezeiket majdnem teljesen összetoljuk (de nem érintjük össze), annyira, hogy a feszültségük szinte nullára csökkenjen, majd a töltésátáramlás után ismét széthúzzuk a lemezeket az eredeti távolságukig. Az elektrosztatikus energia most is lecsökken, de az energiaváltozás éppen megegyezik a lemezek mozgatása közben végzett mechanikai munkával. Ez az eset felel meg a feladatban szereplő két fémgömb összeütközésének, de a gömbkondenzátorokhoz képest azzal az előnnyel rendelkezik, hogy egyszerű módon részletesen végigszámolható.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Varga Vázsony. 4 points: Takács Dóra, Viczián Anna. 3 points: 12 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2019