Problem P. 5161. (October 2019)
P. 5161. A very long uncharged metal cylinder of base radius \(\displaystyle R\) is placed into strong uniform magnetic field of magnetic induction \(\displaystyle \boldsymbol B\). The axle through the symmetry axis of the cylinder is fixed parallel to the magnetic induction, and then the cylinder is started to rotate about by angular velocity \(\displaystyle \omega\). What is the resulted surface charge density on the lateral surface of the cylinder?
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A forgó fémhengerben a \(\displaystyle Q=-e<0\) töltésű elektronokra (\(\displaystyle e\) az elemi töltés) a mágneses tér erőt fejt ki. Ennek iránya a forgástengely felé mutat, vagy azzal ellentétesen, nagysága a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságban
\(\displaystyle F_\text{mágneses}= QB\omega\,r.\)
Az erő iránya a forgás szögsebességvektorának és a mágneses indukcióvektornak egymáshoz viszonyított állásától függ. Tekintsük pl. azt az esetet, amikor \(\displaystyle \boldsymbol B\) és \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) azonos irányúak, és a sugár irányban ,,kifelé'' mutató vektorok sugár irányú komponensét tekintjük pozitívnak, a ,,befelé'' mutatókét pedig negatívnak. Ekkor a negatív töltésű elektronokra a mágneses tér \(\displaystyle Q B\omega\,r=-eB\omega r\) nagyságú, tehát ,,befele'' mutató erővel hat.
A fémben az elektronok szabadon el tudnak mozdulni, a kristályrács nem fejt ki rájuk erőt. El is mozdulnak, és a megbomlott töltésegyensúly hatására kialakul egy sugár irányú elektromos mező, ami az elektronokra
\(\displaystyle F_\text{elektromos}= QE(r)=-eE(r) \)
erőt fejt ki. Állandósult (stacionárius) állapotban az \(\displaystyle m\) tömegű elektronok körpályán, egyenletes forgómozgással mozognak, így rájuk az
\(\displaystyle F_\text{mágneses}+F_\text{elektromos}=-mr\omega^2\)
mozgásegyenlet érvényes. Ebből leolvashatjuk, hogy az elektromos tér nagysága
\(\displaystyle E(r)= \left(\frac{m}{e}\omega^2- B\omega\right)\cdot r\equiv K\cdot r.\)
Mivel elektronra az \(\displaystyle m/e\) hányados SI-egységekben mérve nagyon kicsi szám (\(\displaystyle 10^{-12}\) nagyságrendű), a \(\displaystyle K\) állandóban szereplő első tagot (extrém nagy, gyakorlatilag megvalósíthatatlan szögsebességeket leszámítva) nyugodtan elhanyagolhatjuk, vagyis a \(\displaystyle K= -B\omega\) értékkel számolhatunk.
Tekintsük most a forgó fémhenger belsejében egy \(\displaystyle r\) belső sugarú, \(\displaystyle r+\Delta r\) külső sugarú, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, vékony falú csövet (\(\displaystyle \Delta r\ll r\)). Ebből csőből a belső oldalán
\(\displaystyle \vert E(r)\vert \,2\pi r \ell=2\pi \ell B\omega\,r^2\)
nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép ki, a külső oldalán pedig
\(\displaystyle \vert E(r+\Delta r)\vert \,2\pi(r+\Delta r) \ell=2\pi \ell B\omega\,(r+\Delta r)^2 \approx 2\pi \ell B\omega\,r^2+ 4\pi \ell B\omega\,r\, \Delta r\)
nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép be a csőbe.
A Gauss-féle fluxustörvény szerint az elektromos mező eredő (előjeles összegzéssel kapható) fluxusa a csőben lévő töltéssel arányos:
\(\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_0}\,Q_\text{cső}=-\frac{4\pi}{\varepsilon_0}\,\ell B\omega\,r\, \Delta r.\)
Ha ezt a töltést (ami a szimmetria miatt egyenletesen oszlik el a csőben) elosztjuk a cső \(\displaystyle 2r\pi\ell\,\Delta r\) térfogatával, megkapjuk a töltéssűrűséget:
\(\displaystyle \varrho=-2\varepsilon_0 B\omega<0.\)
Amint az várható volt, a negatív elektronokat a forgástengely irányába húzó mágneses Lorentz-erő a henger felületéről ,,szív el'' töltéseket, a henger belseje tehát negatív töltéssűrűségre töltődik fel (méghozzá egyenletesen), a henger felülete pedig pozitív töltésűvé válik. A felületi töltéssűrűséget a henger belsejének összes (de ellentétes előjellel vett) töltésének és a hengerpalást területének hányadosaként kapjuk meg:
\(\displaystyle \sigma=-\frac{R^2\pi \ell \varrho}{2R\pi\ell}=\varepsilon_0 BR\omega.\)
A felületi töltéssűrűséget másképp is kiszámíthatjuk. Az egész henger semleges, így rajta kívül at elektromos térerősség nulla. A henger belsejében, közvetlenül a hengerpalást alatt \(\displaystyle E=-B\omega R\), vagyis felületegységenként \(\displaystyle B\omega R\) elővonal indul ki a hengerpalástból. A felületegységre jutó töltés (Gauss törvénye szerint): \(\displaystyle \sigma=\vert \boldsymbol E\vert \varepsilon_0=\varepsilon_0 BR\omega\).
Ha a hengert ellenkező irányban forgatjuk (vagy \(\displaystyle \boldsymbol B\) irányát változtatjuk meg), akkor a negatív elektronok kifelé mozognak, a felületi töltéssűrűség negatív, a henger belsejének térfogati töltéssűrűsége pedig pozitív lesz.
Statistics:
12 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Fonyi Máté Sándor, Kozák 023 Áron. 4 points: Fiam Regina, Tóth Ábel. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, October 2019