Problem P. 5162. (October 2019)

P. 5162. The faces of an equilateral-triangle-based right prism are plane mirrors. The prism executes uniform rotational motion of period \(\displaystyle T\) about a vertical axis which goes through the centroid of the horizontal base of the prism. A horizontal beam of laser light aimed at the axis of rotation is incident on one of the faces. At the instant \(\displaystyle t=0\) the beam is perpendicular to one of the mirrors. Determine and graph the angle between the incident and the reflected laser beam as a function of the elapsed time over the interval \(\displaystyle 0\le t\le T\).

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a hasáb radiánban mért elfordulási szögét \(\displaystyle \varphi\)-vel, a lézersugár eltérülési szögét pedig \(\displaystyle \delta\)-val. (A megadott időintervallumban le \(\displaystyle 0\le\varphi\le 2\pi\), továbbá \(\displaystyle \varphi=2\pi t/T\). A \(\displaystyle \delta\) szöget nem a szokásos 0 és \(\displaystyle 2\pi\) közötti, hanem \(\displaystyle -\pi\) és \(\displaystyle +\pi\) közé eső értékekkel fogjuk megadni.

A \(\displaystyle t = 0\) pillanatban – a feladat szövege szerint – \(\displaystyle \varphi=0\), és nyilván \(\displaystyle \delta=0\). A tükrözési törvény szerint a \(\displaystyle \varphi\) szög növekedtével egy darabig \(\displaystyle \delta=2\varphi\), de ez csak addig igaz, amíg a lézersugár a hasáb oldalélére nem esik. Ez \(\displaystyle \varphi=\tfrac{1}{3}\pi=60^\circ\)-nál, \(\displaystyle t =T/6\) idő elteltével következik be. Ekkor a lézerfény hirtelen egy másik síktükörre esik, az eltérülés szöge \(\displaystyle +\tfrac43\pi\)-ről \(\displaystyle -\tfrac43\pi\)-re vált át. Ezután \(\displaystyle \varphi\) növekedtével \(\displaystyle \delta\) kétszeres ütemben növekszik, és ez egészen \(\displaystyle \varphi=\pi\)-ig tart (ekkor ér a lézerfény útjába a hasáb következő oldaléle), és ez ismétlődik a továbbiakban is. Az eltérülési szög és az elfordulás szöge, valamint az eltelt idő közötti kapcsolatot az alábbi grafikon mutatja:

A szakadási pontokban \(\displaystyle \delta\)-nak nincs határozott értéke, mert ilyenkor a fénysugár nem síktükörre, hanem egy vékony élre esik, ami nem határozott irányba tükrözi a fényt, hanem szanaszét szórja azt.

Statistics:

22 students sent a solution.
4 points:	Kardkovács Levente, Kozák 023 Áron, Nguyễn Đức Anh Quân, Schäffer Bálint, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 points:	Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Juhász Katalin, Ludányi Levente, Török 517 Mihály.
2 points:	6 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2019