Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5166. feladat (2019. november)

P. 5166. Egy Eötvös-inga \(\displaystyle 2r=40\) cm-es rúdjának végeire egy-egy \(\displaystyle m=30\) g tömegű, kicsiny testet erősítünk. A rendkívül könnyű rúd egy hajszálvékony fémszálon függ, vízszintes helyzetben. Közepétől mérve \(\displaystyle R=3\) m távolságban, vele azonos magasságban egy \(\displaystyle m^*=100\) kg tömegű ólomgolyót helyeztek el.

\(\displaystyle a)\) Mekkora forgatónyomatékot gyakorol az ólomgolyó az ingára, amikor a golyót és az ingarúd közepét összekötő egyenes \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be a rúd irányával?

\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk a forgatónyomatékot \(\displaystyle \varphi\) függvényében! Mekkora szögnél lesz maximális a forgatónyomaték?

Közli: Cserti József, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük az ábrán látható helyzetet, és alkalmazzuk az ábra jelöléseit! Az \(\displaystyle m\) tömegű, kicsiny testek és a \(\displaystyle m^*\) tömegű ólomgolyó között ható erők nagysága:

\(\displaystyle F_1=\frac{\gamma m m^*}{r_1^2}=\frac{\gamma m m^*}{R^2-2rR\cos\varphi+r^2},\)

illetve

\(\displaystyle F_2=\frac{\gamma mm^*}{r_2^2}=\frac{\gamma m m^*}{R^2+2rR\cos\varphi+r^2}.\)

Ezek az erők (a rúd középpontjára vonatkoztatott) forgatónyomatékot fejtenek ki a rúdra:

\(\displaystyle M_1=-F_1d_1,\qquad M_2=F_2d_2,\)

ahol \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) a megfelelő erőkarok. Ezek (az ábráról leolvashatóan) így számíthatók ki:

\(\displaystyle d_1=R\sin\alpha_1=R\frac{r\sin\varphi}{r_1}, \qquad d_2=R\sin\alpha_2=R\frac{r\sin\varphi}{r_2}.\)

A rúdra ható eredő forgatónyomaték

\(\displaystyle M(\varphi)=\gamma m m^*rR\sin\varphi\left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\)

\(\displaystyle = \gamma m m^*rR\sin\varphi\left[(R^2+2rR\cos\varphi+r^2)^{-(3/2)}-(R^2-2rR\cos\varphi+r^2)^{-(3/2)} \right] .\)

Ez a kifejezés, mivel \(\displaystyle r_1\ne r_2\), általában nem nulla, de ha \(\displaystyle \varphi\approx 0\) vagy \(\displaystyle \varphi\approx 90^\circ\), akkor a forgatónyomaték nagyon kicsi, határesetben nulla lesz. Az első esetben \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) válik kicsivé, emiatt tűnik el a forgatónyomaték, a második esetben pedig \(\displaystyle r_1\approx r_2\), és így \(\displaystyle F_1\approx F_2\), ekkor a két kis testre ható, csaknem azonos nagyságú, de ellentétes irányú forgatónyomaték kiegyensúlyozza egymást.

Az \(\displaystyle M(\varphi)\) függvény a megadott számértékek behelyettesítése után (pl. a wolframalpha.com használatával) ábrázolható, és a maximumhelye is megtalálható. Van azonban egy másik út is. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle r\) egy nagyságrenddel kisebb, mint \(\displaystyle R\), hiszen

\(\displaystyle \frac{r}{R} \equiv \epsilon=\frac{20~\rm cm}{3~\rm m}=0{,}067\ll 1,\)

emiatt nem tévedhetünk sokat, ha \(\displaystyle \epsilon\) magasabb hatványait elhanyagoljuk \(\displaystyle \epsilon\) legkisebb kitevőjű (de nem nulla együtthatójú) tagja mellett. Mivel

\(\displaystyle \left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\frac{(r_1^3-r_2^3)(r_1^3+r_3^3)}{r_1^3\,r_3^3(r_1^3+r_3^3)}, \)

a nevezőt közelíthetjük \(\displaystyle 2R^9\)-nel, a számláló pedig

\(\displaystyle r_1^6-r_2^6=R^6 \,\left[(1-2\epsilon\cos\varphi+\epsilon^2)^3-(1+2\epsilon\cos\varphi+\epsilon^2)^3\right]\approx -12rR^5\cos\varphi,\)

az eredő forgatónyomaték (az alkalmazott közelítésben)

\(\displaystyle M(\varphi)=-\gamma m m^*\frac{6r^2}{R^3}\sin\varphi\,\cos\varphi=-\gamma m m^*\frac{3r^2}{R^3}\sin(2\varphi).\)

(A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a forgatónyamaték a kitéréssel ellentétes irányú, tehát a \(\displaystyle \varphi=0\) és a \(\displaystyle \varphi=180^\circ\)-os helyzet stabil, míg \(\displaystyle \varphi=90^\circ\)-os helyzet labilis egyensúlynak felel meg.) A forgatónyomaték abszolút értéke \(\displaystyle \varphi=\pm 45^\circ\)-nál a legnagyobb, és az értéke

\(\displaystyle \vert M \vert _\text{max}= \gamma m m^*\frac{3r^2}{R^3}=9\cdot10^{-13}~\rm N m.\)

Ha a legnagyobb forgatónyomatékot numerikusan, a fenti közelítés alkalmazása nélkül határozzuk meg, a maximum helyére \(\displaystyle 44{,}9^\circ\)-ot kapunk, és \(\displaystyle M(\varphi)\) grafikusan ábrázolt képe gyakorlatilag megegyezik a \(\displaystyle \sin(2\varphi)\) állandószorosának képével.


Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bokor Endre, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Szoboszlai Szilveszter, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Kozaróczy Csaba, Somlán Gellért, Takács Dóra, Viczián Anna.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai