Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5166. (November 2019)

P. 5166. A small object of 30 grams is attached to each end of a 40 cm long rod of an Eötvös pendulum. The extremely light rod is hanging on a very thin metal thread horizontally. A lead ball of mass 100 kg was placed to a distance of three metres from the centre of the rod at the same height as the rod.

\(\displaystyle a)\) What is the torque exerted on the pendulum by the lead ball, when the angle between the line of the rod and the line which joins the centre of the rod and the ball is \(\displaystyle \varphi\)?

\(\displaystyle b)\) Plot the torque as a function of the angle \(\displaystyle \varphi\). At what angle will the torque be maximum?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az ábrán látható helyzetet, és alkalmazzuk az ábra jelöléseit! Az \(\displaystyle m\) tömegű, kicsiny testek és a \(\displaystyle m^*\) tömegű ólomgolyó között ható erők nagysága:

\(\displaystyle F_1=\frac{\gamma m m^*}{r_1^2}=\frac{\gamma m m^*}{R^2-2rR\cos\varphi+r^2},\)

illetve

\(\displaystyle F_2=\frac{\gamma mm^*}{r_2^2}=\frac{\gamma m m^*}{R^2+2rR\cos\varphi+r^2}.\)

Ezek az erők (a rúd középpontjára vonatkoztatott) forgatónyomatékot fejtenek ki a rúdra:

\(\displaystyle M_1=-F_1d_1,\qquad M_2=F_2d_2,\)

ahol \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) a megfelelő erőkarok. Ezek (az ábráról leolvashatóan) így számíthatók ki:

\(\displaystyle d_1=R\sin\alpha_1=R\frac{r\sin\varphi}{r_1}, \qquad d_2=R\sin\alpha_2=R\frac{r\sin\varphi}{r_2}.\)

A rúdra ható eredő forgatónyomaték

\(\displaystyle M(\varphi)=\gamma m m^*rR\sin\varphi\left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\)

\(\displaystyle = \gamma m m^*rR\sin\varphi\left[(R^2+2rR\cos\varphi+r^2)^{-(3/2)}-(R^2-2rR\cos\varphi+r^2)^{-(3/2)} \right] .\)

Ez a kifejezés, mivel \(\displaystyle r_1\ne r_2\), általában nem nulla, de ha \(\displaystyle \varphi\approx 0\) vagy \(\displaystyle \varphi\approx 90^\circ\), akkor a forgatónyomaték nagyon kicsi, határesetben nulla lesz. Az első esetben \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) válik kicsivé, emiatt tűnik el a forgatónyomaték, a második esetben pedig \(\displaystyle r_1\approx r_2\), és így \(\displaystyle F_1\approx F_2\), ekkor a két kis testre ható, csaknem azonos nagyságú, de ellentétes irányú forgatónyomaték kiegyensúlyozza egymást.

Az \(\displaystyle M(\varphi)\) függvény a megadott számértékek behelyettesítése után (pl. a wolframalpha.com használatával) ábrázolható, és a maximumhelye is megtalálható. Van azonban egy másik út is. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle r\) egy nagyságrenddel kisebb, mint \(\displaystyle R\), hiszen

\(\displaystyle \frac{r}{R} \equiv \epsilon=\frac{20~\rm cm}{3~\rm m}=0{,}067\ll 1,\)

emiatt nem tévedhetünk sokat, ha \(\displaystyle \epsilon\) magasabb hatványait elhanyagoljuk \(\displaystyle \epsilon\) legkisebb kitevőjű (de nem nulla együtthatójú) tagja mellett. Mivel

\(\displaystyle \left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\frac{(r_1^3-r_2^3)(r_1^3+r_3^3)}{r_1^3\,r_3^3(r_1^3+r_3^3)}, \)

a nevezőt közelíthetjük \(\displaystyle 2R^9\)-nel, a számláló pedig

\(\displaystyle r_1^6-r_2^6=R^6 \,\left[(1-2\epsilon\cos\varphi+\epsilon^2)^3-(1+2\epsilon\cos\varphi+\epsilon^2)^3\right]\approx -12rR^5\cos\varphi,\)

az eredő forgatónyomaték (az alkalmazott közelítésben)

\(\displaystyle M(\varphi)=-\gamma m m^*\frac{6r^2}{R^3}\sin\varphi\,\cos\varphi=-\gamma m m^*\frac{3r^2}{R^3}\sin(2\varphi).\)

(A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a forgatónyamaték a kitéréssel ellentétes irányú, tehát a \(\displaystyle \varphi=0\) és a \(\displaystyle \varphi=180^\circ\)-os helyzet stabil, míg \(\displaystyle \varphi=90^\circ\)-os helyzet labilis egyensúlynak felel meg.) A forgatónyomaték abszolút értéke \(\displaystyle \varphi=\pm 45^\circ\)-nál a legnagyobb, és az értéke

\(\displaystyle \vert M \vert _\text{max}= \gamma m m^*\frac{3r^2}{R^3}=9\cdot10^{-13}~\rm N m.\)

Ha a legnagyobb forgatónyomatékot numerikusan, a fenti közelítés alkalmazása nélkül határozzuk meg, a maximum helyére \(\displaystyle 44{,}9^\circ\)-ot kapunk, és \(\displaystyle M(\varphi)\) grafikusan ábrázolt képe gyakorlatilag megegyezik a \(\displaystyle \sin(2\varphi)\) állandószorosának képével.


Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:Bokor Endre, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Szoboszlai Szilveszter, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony.
4 points:Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Kozaróczy Csaba, Somlán Gellért, Takács Dóra, Viczián Anna.
3 points:1 student.
2 points:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2019