Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5167. feladat (2019. november)

P. 5167. Egy mosogató csapját enyhén megnyitva beállíthatjuk, hogy a víz függőleges, folyamatos sugárban folyjék ki, és így érje el a mosogató vízszintes alját. Egyik alkalommal a vízsugár átmérője becsapódáskor háromnegyed akkora volt, mint 20 cm-rel magasabban.

\(\displaystyle a)\) Mekkora volt ekkor a vízsugár becsapódási sebessége?

\(\displaystyle b)\) Mekkora nyomást fejt ki a vízsugár a mosogató aljára?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a folyadék sebességét a becsapódásnál \(\displaystyle v_2\)-vel, a vízsugár átmérőjét \(\displaystyle d_2\)-vel, ugyanezek a mennyiségek \(\displaystyle h=0{,}2~\)m-rel magasabban \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle d_1\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle d_2=\tfrac34d_1\). (Feltételezzük, hogy a vízsugár vékony, emiatt a víz sebessége jó közelítéssel függőleges. Ez pontosan nem teljesülhet – hiszen a vízsugár összeszűkül, tehát a víz egyes részeinek vízszintes irányú sebessége is van –, de közelítőleg igaz lehet.)

Az anyagmegmaradás törvénye értelmében a felső keresztmetszeten egy bizonyos idő alatt ugyanannyi víz áramlik át, mint az alsón, vagyis

\(\displaystyle v_1 \frac{d_1^2\pi}{4}=v_2 \frac{d_2^2\pi}{4},\qquad \text{azaz}\qquad v_1=\left(\frac{3}{4}\right)^2v_2.\)

Másrészt tudjuk, hogy a folyadék egyes részei egymástól lényegében függetlenül szabadon esnek, így az energimegmaradás törvénye szerint \(\displaystyle v_2^2=v_1^2+2gh.\) Ezekből az összefüggésekből következik, hogy a becsapódás sebessége

\(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{512}{175}gh}=2{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 2{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle A_2\) keresztmetszeten \(\displaystyle v_2\) sebességgel \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta m=A_2v_2\varrho\Delta t\) tömegű víz áramlik keresztül, vagyis a függőleges irányú lendülete \(\displaystyle Q\Delta I=v_2\Delta m =A_2v_2^2\varrho\Delta t\). Ez a lendület a vízsugár becsapódásakor (amikor a víz a mosogató vízszintes alján szétterülve áramlik tovább) nullává válik, tehát az egységnyi időre eső lendületváltozás, azaz a vízsugár által kifejtett erő:

\(\displaystyle F=\frac{\Delta I}{\Delta t}=A_2v_2^2\varrho.\)

A vízsugár által kifejtett nyomás:

\(\displaystyle p=\frac{F}{A_2}=\varrho v_2^2\approx 5{,}7~\rm kPa,\)

a szokásos légköri nyomásnak kb. 6 százaléka.


Statisztika:

A P. 5167. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai