Problem P. 5167. (November 2019)
P. 5167. The faucet of a kitchen sink is opened slightly such that the water flows vertically at a constant rate and reaches the horizontal bottom of the sink. The diameter of the water flow at the bottom of the sink is \(\displaystyle 3/4\) of the diameter of the water at 20 cm higher.
\(\displaystyle a)\) What is the speed of the water at which it hits the bottom of the sink?
\(\displaystyle b)\) What is the pressure exerted by the water at the bottom of the sink?
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a folyadék sebességét a becsapódásnál \(\displaystyle v_2\)-vel, a vízsugár átmérőjét \(\displaystyle d_2\)-vel, ugyanezek a mennyiségek \(\displaystyle h=0{,}2~\)m-rel magasabban \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle d_1\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle d_2=\tfrac34d_1\). (Feltételezzük, hogy a vízsugár vékony, emiatt a víz sebessége jó közelítéssel függőleges. Ez pontosan nem teljesülhet – hiszen a vízsugár összeszűkül, tehát a víz egyes részeinek vízszintes irányú sebessége is van –, de közelítőleg igaz lehet.)
Az anyagmegmaradás törvénye értelmében a felső keresztmetszeten egy bizonyos idő alatt ugyanannyi víz áramlik át, mint az alsón, vagyis
\(\displaystyle v_1 \frac{d_1^2\pi}{4}=v_2 \frac{d_2^2\pi}{4},\qquad \text{azaz}\qquad v_1=\left(\frac{3}{4}\right)^2v_2.\)
Másrészt tudjuk, hogy a folyadék egyes részei egymástól lényegében függetlenül szabadon esnek, így az energimegmaradás törvénye szerint \(\displaystyle v_2^2=v_1^2+2gh.\) Ezekből az összefüggésekből következik, hogy a becsapódás sebessége
\(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{512}{175}gh}=2{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 2{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle A_2\) keresztmetszeten \(\displaystyle v_2\) sebességgel \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta m=A_2v_2\varrho\Delta t\) tömegű víz áramlik keresztül, vagyis a függőleges irányú lendülete \(\displaystyle Q\Delta I=v_2\Delta m =A_2v_2^2\varrho\Delta t\). Ez a lendület a vízsugár becsapódásakor (amikor a víz a mosogató vízszintes alján szétterülve áramlik tovább) nullává válik, tehát az egységnyi időre eső lendületváltozás, azaz a vízsugár által kifejtett erő:
\(\displaystyle F=\frac{\Delta I}{\Delta t}=A_2v_2^2\varrho.\)
A vízsugár által kifejtett nyomás:
\(\displaystyle p=\frac{F}{A_2}=\varrho v_2^2\approx 5{,}7~\rm kPa,\)
a szokásos légköri nyomásnak kb. 6 százaléka.
Statistics:
53 students sent a solution. 5 points: Balázs 825 Ádám , Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kertész Balázs, Korom Lili, Kozák Gergely, Lê Minh Phúc, Ludányi Levente, Nagy 414 Soma, Nagyváradi Dániel, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Takács Árpád, Takács Dóra, Tanács Kristóf, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony, Vass Bence. 4 points: Bohács Tamás, Bokor Endre, Fekete Levente, Fülöp Sámuel Sihombing, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Kovács 314 Balázs, Kozák 023 Áron, Sas 202 Mór, Szabados Noémi, Szabó 314 László, Viczián Anna. 3 points: 7 students. 2 points: 6 students. 1 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2019