Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5168. feladat (2019. november)

P. 5168. Egy \(\displaystyle A\) alapterületű, \(\displaystyle m\) tömegű dugattyúval elzárt hengerben \(\displaystyle V_0\) térfogatú héliumgáz van. A dugattyút és a henger alját egy függőleges helyzetű, \(\displaystyle D=400\) N/m rugóállandójú, kezdetben nyújtatlan rugó köti össze.

Mennyi hőt kell közölnünk a gázzal ahhoz, hogy a dugattyú \(\displaystyle h\) magassággal megemelkedjen, ha a rendszer hőszigetelt?

Adatok: \(\displaystyle A=7~\mathrm{dm}^2\), \(\displaystyle m=5\) kg, \(\displaystyle V_0=4~\mathrm{dm}^3\), \(\displaystyle D=400\) N/m, \(\displaystyle h=5\) cm és a külső légnyomás \(\displaystyle p_0=100\) kPa.

Közli: Kis Tamás, Heves

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a kezdőállapotot 1-es, a végállapotot 2-es indexszel. A gáz kezdeti térfogata

\(\displaystyle V_1=V_0=4~\rm dm^3,\)

a folyamat végén pedig

\(\displaystyle V_2=V_0+Ah=7{,}5~\rm dm^3.\)

Amikor a melegítés hatására a dugattyú \(\displaystyle x\) magassággal emelkedik, a gáz térfogata \(\displaystyle V=V_0+Ax\), a nyomása pedig (a dugattyúra ható erők egyensúlya miatt) \(\displaystyle p=p_0+\frac{mg+Dx}{A} \) lesz. Ebből a két összefüggésből \(\displaystyle x\) kiküszöbölése után kapjuk, hogy

\(\displaystyle p(V)=p_0+\frac{mg}{A}+\frac{V-V_0}{A^2}.\)

A nyomás a térfogat lineáris függvénye, tehát a folyamat a \(\displaystyle p_V\) diagramon egy egyenessel írható le. (Az ábra nem méretarányos!)

A kezdeti állapotban a nyomás

\(\displaystyle p_1=p_0+\frac{mg}{A}=100{,}7~\rm kPa,\)

a végállapotban pedig

\(\displaystyle p_2=p_0+\frac{mg+Dh}{A}=101{,}0~\rm kPa.\)

A folyamat során közölt hő a belső energia megváltozásának és a gaz által végzett munkának az összege. Az energiaváltozás:

\(\displaystyle E_2-E_1=\frac{3}{2}p_2V_2-\frac{3}{2}p_1V_1= 0{,}53~\rm kJ,\)

a gáz munkavégzése pedig

\(\displaystyle W'=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=0{,}35~\rm kJ,\)

végül a közölt hő:

\(\displaystyle Q=\Delta E+W'=0{,}88~\rm kJ.\)

Megjegyzés. A gáz munkavégzése (a nyomások és a térfogatok behelyettesítése után) így is felírható:

\(\displaystyle W'=mgh+\frac{1}{2}Dh^2+p_0Ah.\)

Ebben a kifejezésben az egyes tagoknak szemletes jelentése van. Az első a dugattyú gravitációs helyzeti energiájának növekedését adja meg. A második tag a rugóban tárolt rugalmas energiával egyenlő. Végül a harmadik tag azt a munkát adja meg, amennyi a \(\displaystyle p_0\) nyomású légkör \(\displaystyle Ah\) térfogatú részének ,,megemeléséhez'', a légkör helyzeti energiájának növeléséhez szükséges.


Statisztika:

A P. 5168. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai