Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5170. (November 2019)

P. 5170. Some alike plastic straws were charged with rubbing and placed parallel to each other such that the line which joins their endpoints is perpendicular to the straws. It can be assumed that the distribution of charges on each straw is uniform, and all of them have the same charge. The two straws at the two ends are fixed such that their distance is much smaller than their length. Between them there are some straws which can move freely. What is the position of these straws if their number is

\(\displaystyle a)\) two;

\(\displaystyle b)\) three?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletesen feltöltött, hosszú szigetelő szálak mindegyikének elektromos terében a térerősség (a végek közelét leszámítva) merőleges a szálra és a nagysága a szálaktól mért távolsággal fordítottan arányos. (Ez pl. a Gauss-törvény alkalmazásával láthatjuk be. Feltételezzük, hogy a vízszintes alátámasztás nem befolyásolja a kialakuló erőteret.) Mivel a szálak töltése ugyanakkora, egy-egy pár közötti taszítóerő is a távolságukkal fordítottan arányos, és az arányossági tényező mindegyik párra ugyanakkora.

\(\displaystyle a)\) Legyen a két szélső, rögzített szál távolsága \(\displaystyle d\), egy-egy ,,belső szál'' távolsága a hozzájá közelebbi rögzített száltól pedig \(\displaystyle xd\). Az elrendezés szimmetriája miatt \(\displaystyle x\) mindkét szálra ugyanakkora (1. ábra). Az egyensúlyi állapotban egy-egy belső szálra ható erők eredője nulla, vagyis fennáll:

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)


1. ábra

Innen – algebrai átalakítások után – következik, hogy

\(\displaystyle 5x^2-5x+1=0,\)

aminek (0,5-nél kisebb) megoldása:

\(\displaystyle x_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{20}}\approx 0{,}28. \)

A szívószálak tehát kb. 28% : 44% : 28% arányban osztják fel a két szélső szál közötti távolságot.

\(\displaystyle b)\) Hasonló módon járhatunk el a három szabadon mozgó szívószál esetében is. (Ezek is szimmetrikusan fognak elhelyezkedni, ahogy azt a 2. ábra mutatja.)


2. ábra

A megoldandó egyenlet most

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)

Innen

\(\displaystyle x=\frac{7-\sqrt{21}} {14}\approx 0{,}173\)

következik. A szálak közötti távolságok aránya tehát kb. 17% : 33% : 33% : 17%.


Statistics:

14 students sent a solution.
5 points:Békési Ábel, Takács Árpád, Viczián Anna.
4 points:Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Sas 202 Mór, Szabó 314 László, Varga Vázsony.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2019