Problem P. 5172. (November 2019)

P. 5172. A shiny spoon is held in front of our eye at a distance of 25 cm such that the stem of the spoon is vertical. If the concave side of the spoon is observed, then an inverted image of our head can be seen, whilst if the convex part of the spoon is observed, then the image is upright. In which case will the height of the image of our head (its vertical size) appear greater? By what factor the angle subtended by the larger image is greater than that of the smaller image? The radius of curvature of the vertical section of the spoon is 5 cm.

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tárgytávolság \(\displaystyle t=25~\)cm, a gömbtükörnek tekinthető kanál fókusztávolsága \(\displaystyle f=\pm \frac{R}{2}=\pm 2{,}5~\rm cm.\) A leképezési törvény szerint a képtávolság:

\(\displaystyle k=\left(\frac{1}{f}-\frac{1}{t}\right)^{-1}= \frac{tf}{t-f}, \)

a nagyítás pedig

\(\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}.\)

A kanál homorú oldalát nézve \(\displaystyle f_1=+2{,}5\) cm, és ennek megfelelően

\(\displaystyle N_1=\frac{1}{9}, \qquad k_1=\frac{25}{9}~{\rm cm}\approx 2{,}78~{\rm cm}.\)

A keletkező kép valódi, fordított állású, nagysága \(\displaystyle K_1=N_1\,T \) (\(\displaystyle T\) a fejünk függőleges mérete), és a szemünktől

\(\displaystyle d_1=t-k_1=22{,}22~{\rm cm}\)

távol jön létre. A kép látószöge \(\displaystyle \varphi_1=\frac{ N_1 \,T}{d_1}.\)

A kanál domború oldalát nézve \(\displaystyle f_1=-2{,}5\) cm, és ennek megfelelően

\(\displaystyle N_2=-\frac{1}{11}, \qquad k_2=-\frac{25}{11}~{\rm cm}\approx -2{,}27~{\rm cm}.\)

A keletkező kép látszólagos, egyenes állású, és a szemünktől \(\displaystyle d_2=t-k_2=t+\vert k_2\vert=27{,}27~{\rm cm}\) távol ,,keletkezik''. A kép látószöge \(\displaystyle \varphi_2=\frac{\vert N_2\vert\,T}{d_2}.\)

A két eset adatait összevetve leolvashatjuk, hogy a kanál homorú oldalára nézve látunk nagyobb (nagyobb látószögű) képet, és a szögnagyítások aránya:

\(\displaystyle \frac{\varphi_1}{\varphi_2}=\left\vert\frac{N_1}{N_2}\right\vert\frac{d_2}{d_1}=1{,}5. \)

A kanál homorú oldalát nézve másfélszer nagyobbnak látjuk a fejünket, mint a domború oldalán.

Megjegyzés. Egy tárgy képének látszólagos méretét nem a kép tényleges nagysága, hanem a kép látószöge határozza meg. Azonos látószög esetén a szemünk retináján ugyanakkora méretű kép jön létre, tehát ,,ugyanakkorának látszik''. A lemenő Nap és a Hold például látszólag ugyanakkora, pedig a tényleges méretük sok nagyságrendben különbözik. Egy magas toronyból letekintve a torony melletti térre, az emberek és az autók akkorának látszanak, mint egy hangya. Nem túl messzi tárgyakat két szemmel nézve azokat térben látjuk, és az agyunk a távolságra vonatkozó információ alapján korrigálja a méretükre vonatkozó érzetet.

Statistics:

11 students sent a solution.
4 points:	Ludányi Levente, Tanner Norman.
3 points:	Endrész Balázs, Györgyfalvai Fanni, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Kozaróczy Csaba, Nemeskéri Dániel.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2019