Problem P. 5173. (November 2019)
P. 5173. The core of a toroidal inductor of inductance \(\displaystyle L=5\) H, number of turns \(\displaystyle N=2000\), and of negligible ohmic resistance is a ring of high magnetic permeability. An ohmic resistor of resistance \(\displaystyle R=200~\Omega\) is connected to the two terminals of the coil. A rechargeable battery of voltage \(\displaystyle U_0=1{.}5\) V can be connected across one terminal of the coil and its 300th turn counted from that terminal.
\(\displaystyle a)\) What is the current in the two parts of the coil \(\displaystyle t_0=0{.}1\) s after the switch in the circuit was turned on?
\(\displaystyle b)\) How much energy is supplied by the battery in the time of \(\displaystyle t_0\), and what is this energy transferred to?
(6 pont)
Deadline expired on December 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kapcsoló zárása előtt a tekercs egyik részében sem folyik áram. A toroidtekercs magjában nulla a mágneses indukció, tehát mágneses fluxus sincs.
A kapcsoló zárását követően az \(\displaystyle N_1\) menetes tekercsben \(\displaystyle I_1(t)\), a toroidtekercs többi részében \(\displaystyle I_2(t)\) áramerősség, a tekercs magjában pedig \(\displaystyle B(t)\) mágneses indukció alakul ki az 1. ábrán látható irányítással. A mágneses fluxus a tekercs magjában \(\displaystyle \Phi(t)=AB(t).\)
1. ábra
A gerjesztési törvény szerint (a tekercs magjában mindenhol) a mágneses indukció
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle B(t)=\mu\frac{N_1I_1-(N-N_1)I_2}\ell\) |
nagyságú, a mágneses fluxus pedig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \Phi(t)=B(t)\cdot A=\mu\frac{A}{\ell}\left[N_1\left(I_1+I_2\right)-NI_2\right].\) |
Mivel az egész tekercs önindukciója
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle L=\mu\frac{N^2A}{\ell}\) |
(\(\displaystyle \mu=\mu_0\,\mu_{\rm rel}\gg \mu_0\)), a mágneses fluxus így is felírható:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \Phi(t)=\frac{L}{N^2}\left[N_1\left(I_1+I_2\right)-NI_2\right].\) |
A Faraday-féle indukciótörvény szerint az időben változó mágneses fluxus a tekercsekben menetenként \(\displaystyle U=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) feszültséget indukál. Kirchhoff huroktörvénye szerint a kapcsoló bekapcsolása után:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle U_0-N_1\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=0,\) |
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}-I_2R=0.\) |
Az (5) egyenlet meghatározza a mágneses fluxus időbeli változását:
\(\displaystyle \Phi(t)=\frac{U_0}{N_1}\cdot t=5~\frac{ \rm mH}{\rm s}\cdot t, \quad \text{ha}\quad t>0, \)
(6) pedig \(\displaystyle I_2\)-t:
\(\displaystyle I_2(t)=\frac{N}{N_1}\frac{U_0}{R}= \text{állandó}, \quad \text{ha}\quad t >0.\)
Ezt (4)-be helyettesítve megkapjuk \(\displaystyle I_1\) időbeli változását, ha \(\displaystyle t>0\):
\(\displaystyle I_1(t)=N\frac{N-N_1}{N_1^2}\,\frac{U_0}{R}+\frac{N^2}{N_1^2} \, \frac{U_0}{L}\,t=0{,}28~{\rm A}+13{,}3~\frac{\rm A}{\rm s}\cdot t.\)
A kérdéses \(\displaystyle t_0=0{,}1~\)s időpillanatban tehát a toroidtekercs két ágában
\(\displaystyle I_1(t_0)=1{,}61~{\rm A}\quad \text{és}\quad I_2(t_0)=50~{\rm mA}\)
erősségű áram folyik. A mágneses fluxus és az áramerősségek időbeli változását a 2. ábra mutatja.
2. ábra
Megjegyzés. A feladatban szereplő összeállítás egy transzformátor, amelynek primér körére – a szokásostól eltérő módon – egyenfeszültséget kapcsoltunk. A mágneses fluxus kezdetben az idővel arányosan növekszik, de egy idő után a tekercs magjának mágnesezettsége ,,telítésbe megy'', \(\displaystyle \mu_\text{rel}\) ekkor már nem tekinthető állandónak. A megoldás során feltételeztük, hogy \(\displaystyle t<t_0\) időknél ez még nem következik be.
\(\displaystyle b)\) Kirchhoff csomóponti törvénye szerint az áramforráson átfolyó áram erőssége \(\displaystyle I_1(t)+I_2\), amelynek átlagos értéke a \(\displaystyle 0<t<t_0\) időintervallumban
\(\displaystyle I_\text{átlag}=\frac{I_1(0)+I_1(t_0)}{2}+I_2=1{,}00~\rm A,\)
az akkumulátor által \(\displaystyle t_0\) idő alatt leadott energia tehát
\(\displaystyle W=I_\text{átlag}U_0\, t_0=0{,}15~\rm J.\)
Az ohmos ellenálláson fejlődő Joule-hő:
\(\displaystyle Q=I_2^2R\,t_0=0{,}05~\rm J.\)
Láthatóan \(\displaystyle W>Q\), a különbségük feltehetően a kialakuló mágneses tér energiájával egyezik meg.
A mágneses mező energiasűrűsége
\(\displaystyle w_\text{mágn.}=\frac{B^2}{2\mu},\)
a tekercs \(\displaystyle A\ell\) térfogatú magjának energiája:
\(\displaystyle W_\text{mágn.}=A\ell w_\text{mágn.}=A\ell \frac{B^2}{2\mu}=\frac{\Phi^2(t_0)\ell}{2\mu A}=\frac{U_0^2}{2L} \left(\frac{N}{N_1}\right)^2 t_0^2=0{,}10~\rm J.\)
A ,,munkatétel'' teljesül:
\(\displaystyle W=Q+ W_\text{mágn.}.\)
Statistics:
4 students sent a solution. 6 points: Bokor Endre. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2019