Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5177. feladat (2019. december)

P. 5177. Egy függőleges helyzetű, 400 N/m direkciós állandójú húzó-nyomó rugóra 50 dkg-os nehezéket akasztottunk. A nehezéken – a rugó csatlakozása körül – egy 10 dkg-os fémgyűrű nyugszik. A gyűrűt és a nehezéket együtt \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel hirtelen elindítjuk lefelé. Közös mozgásuk során, amikor a két test gyorsulása a legnagyobb, a gyűrű súlya az eredeti érték háromszorosa lesz. Az indítástól számítva mennyi idő elteltével válik súlytalanná a gyűrű?

Közli: Kis Tamás, Heves

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


A nehezék és a fémgyűrű együttes tömege \(\displaystyle M=\)0,6 kg, tehát a \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugóra függesztve

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{M}}=\sqrt{\frac{400~ {\rm N}/{\rm m}}{0{,}6~\rm kg}}=25{,}8~\frac{1}{\rm s}\)

körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez.

Ha az \(\displaystyle x\) tengelyt függőlegesen felfelé irányítjuk, akkor a test helyzetét az

\(\displaystyle x(t)=-A\sin(\omega t)\)

függvény adja meg. (Az \(\displaystyle A\) amplitúdó nagyságát a \(\displaystyle v_0\) kezdősebesség határozza meg.) A gyorsulás:

\(\displaystyle a(t)=A\omega^2\sin(\omega t).\)

Az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű mozgásegyenlete:

\(\displaystyle ma=-mg+N,\)

ahol \(\displaystyle N\) a nehezék által a gyűrűre kifejtett, függőlegesen felfelé irányuló erő, vagyis a nehezék pillanatnyi súlya. Amikor \(\displaystyle N=3mg\), a mozgásegyenlet szerint \(\displaystyle a_\text{max}=2g\). Ez a nehezék legmélyebb helyzeténél, \(\displaystyle x=-A\)-nál következik be. Ekkor

\(\displaystyle a= A\omega^2=2g,\)

A gyűrű akkor válik súlytalanná, amikor \(\displaystyle N=0\), vagyis \(\displaystyle a=-g\). Felírhatjuk tehát, hogy

\(\displaystyle A\sin(\omega t)= 2g\sin(\omega t)=-g, \)

vagyis

\(\displaystyle \sin(\omega t)=-\frac{1}{2}.\)

Ez (a mozgás során először) az indítástól számított

\(\displaystyle t=\frac{7\pi}{6\omega}=0{,}14~\rm s\)

idő elteltével következik be, és ebben a pillanatban a rugó feszítetlen.

A további mozgés során (valamennyi ideig) az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű \(\displaystyle -g\) gyorsulással szabadon esik, a \(\displaystyle M\) tömegű nehezék \(\displaystyle \omega'>\omega\) körfrekvenciájú rezgőmozgást végez, a rugó pedig összenyomódik.


Statisztika:

A P. 5177. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai