Problem P. 5177. (December 2019)
P. 5177. A 500 g object is attached to a vertical compression-expansion spring of spring constant 400 N/m. On the object – next to the attachment of the spring – there is a 100 g metal ring at rest. The object and the ring is suddenly given an initial downward speed of \(\displaystyle v_0\). During their motion together, when their acceleration is the greatest, the apparent weight of the ring becomes three times as much as its original weight was. How much time elapses from the beginning of their motion until the ring becomes weightless?
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A nehezék és a fémgyűrű együttes tömege \(\displaystyle M=\)0,6 kg, tehát a \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugóra függesztve
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{M}}=\sqrt{\frac{400~ {\rm N}/{\rm m}}{0{,}6~\rm kg}}=25{,}8~\frac{1}{\rm s}\)
körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez.
Ha az \(\displaystyle x\) tengelyt függőlegesen felfelé irányítjuk, akkor a test helyzetét az
\(\displaystyle x(t)=-A\sin(\omega t)\)
függvény adja meg. (Az \(\displaystyle A\) amplitúdó nagyságát a \(\displaystyle v_0\) kezdősebesség határozza meg.) A gyorsulás:
\(\displaystyle a(t)=A\omega^2\sin(\omega t).\)
Az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű mozgásegyenlete:
\(\displaystyle ma=-mg+N,\)
ahol \(\displaystyle N\) a nehezék által a gyűrűre kifejtett, függőlegesen felfelé irányuló erő, vagyis a nehezék pillanatnyi súlya. Amikor \(\displaystyle N=3mg\), a mozgásegyenlet szerint \(\displaystyle a_\text{max}=2g\). Ez a nehezék legmélyebb helyzeténél, \(\displaystyle x=-A\)-nál következik be. Ekkor
\(\displaystyle a= A\omega^2=2g.\)
A gyűrű akkor válik súlytalanná, amikor \(\displaystyle N=0\), vagyis \(\displaystyle a=-g\). Felírhatjuk tehát, hogy
\(\displaystyle A\sin(\omega t)= 2g\sin(\omega t)=-g, \)
vagyis
\(\displaystyle \sin(\omega t)=-\frac{1}{2}.\)
Ez (a mozgás során először) az indítástól számított
\(\displaystyle t=\frac{7\pi}{6\omega}=0{,}14~\rm s\)
idő elteltével következik be, és ebben a pillanatban a rugó feszítetlen.
A további mozgás során (valamennyi ideig) az \(\displaystyle m\) tömegű fémgyűrű \(\displaystyle -g\) gyorsulással szabadon esik, az \(\displaystyle M\) tömegű nehezék \(\displaystyle \omega'>\omega\) körfrekvenciájú rezgőmozgást végez, a rugó pedig összenyomódik.
Statistics:
26 students sent a solution. 4 points: Fekete Levente, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Répási Tamás, Sas 202 Mór, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 points: Békési Ábel, Endrész Balázs, Kozaróczy Csaba, Lê Minh Phúc, Sepsi Csombor Márton, Takács Dóra, Tanner Norman, Toronyi András. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2019