Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5178. feladat (2019. december)

P. 5178. Vízszintes talajon lévő, \(\displaystyle m\) tömegű kiskocsira elhanyagolható tömegű, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os szögben beállított rugós puskát rögzítettünk, amely egy \(\displaystyle m\) tömegű lövedéket lő ki két esetben. Az első esetben a kocsi rögzített, a második esetben szabadon mozoghat. A lövedék függőleges irányú emelkedési magassága az első esetben \(\displaystyle h_1\), a második esetben \(\displaystyle h_2\). Határozzuk meg a \(\displaystyle h_2/h_1\) arányt!

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a lövedék – talajhoz viszonyított – kezdősebességének vízszintes sebességkomponensét \(\displaystyle v_x\)-szel, a függőleges összetevőt \(\displaystyle v_y\)-nal, a rugóban tárolt energiának mechanikai szempontból hasznosítható részét pedig \(\displaystyle E\)-vel.

Az első esetben, amikor a kocsi rögzített, fennállnak a következő összefüggések:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)=E,\)

továbbá

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \frac{v_y}{v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Fejezzük ki \(\displaystyle v_x\)-et a (2) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (1)-be, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:

\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{\tg\alpha}=\sqrt{3}v_y,\)

\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{E}{2m}}.\)

A lövedék emelkedési magassága (a ferde hajítás összefüggései szerint):

\(\displaystyle h_1=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{E}{4mg}.\)

A második esetben a lövedék kilövése során a kiskocsi \(\displaystyle u\) sebességgel visszalökődik. A vízszintes irányú lendület megmaradási törvénye szerint \(\displaystyle u=v_x\). Az energiamegmaradás törvénye most így írható:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)+\frac{1}{2}mu^2=E,\)

továbbá a kilövés irányából adódó kényszerfeltétel:

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle \frac{v_y}{2 v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

(Felhasználtuk, hogy a visszalökődő kiskocsihoz viszonyítva a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_x+u=2v_x\).)

Fejezzük ki most is \(\displaystyle v_x\)-et a (4) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (3)-ba, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:

\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{2\tg\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}v_y,\)

\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{4E}{5m}}.\)

A lövedék emelkedési magassága most

\(\displaystyle h_2=\frac{2E}{5mg},\)

és a kérdezett arány:

\(\displaystyle \frac{h_2}{h_1}=\frac{8}{5}=1{,}6.\)

Megjegyzés. Első ránézésre furcsának tűnhet, hogy a lövedék emelkedési magassága a visszalökődő kocsi esetében nagyobb, mint a rögzített puskából kilőtt lövedéké, jóllehet az első esetben a rugóban tárolt energiának még a kocsi mozgási energiáját is fedeznie kell. A látszólagos ellentmondást a kényszerfeltételek különbözősége oldja fel. A visszalökődő kocsinál a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_y\)-hoz viszonyítva kisebb, mint a rögzített kocsinál, így (az emelkedési magasság szempontjából lényegtelen) vízszintes irányú mozgásnak megfelelő energia is kisebb lesz, mint a rögzített puska esetén.


Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Toronyi András, Viczián Anna.
4 pontot kapott:Bokor Endre.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:15 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai